HCF और LCM, अभाज्य गुणनखंडन विधि से (उदाहरण 2, 3, 4)

हल:

स्टेप 1: 6 को तोड़ो। 6 सम है, और 2 × 3 = 6 है। इसलिए 6 ÷ 2 = 3 3 खुद अभाज्य है, और 3 ÷ 3 = 1 होता है। इसलिए 6 = 2¹ × 3¹

स्टेप 2: 20 को तोड़ो। 20 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 20 का पहला अंक 2 है। 2 में 2 जा सकता है, इसलिए 2 से शुरू करो।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 20 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 20 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 20 ÷ 2 में भागफल 10 है और शेष 0 है। यानी 20 = 2 × 10

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 10 × 2 = 20 ✓

अब 10 भी सम है। 2 × 5 = 10, इसलिए 10 ÷ 2 = 5 5 खुद अभाज्य है, और 5 ÷ 5 = 1 होता है। इसलिए 20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5¹

कॉपी में दोनों सीढ़ियाँ ऐसी दिखेंगी:

स्टेप 3 (HCF): दोनों में साझा अभाज्य संख्या सिर्फ 2 है। 3 सिर्फ 6 में है, और 5 सिर्फ 20 में। 6 में 2¹ है और 20 में 2² है। इनमें छोटी घात 2¹ है। इसलिए HCF(6, 20) = 2¹ = 2

स्टेप 4 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। हर एक की बड़ी घात लो: 2², 3¹ और 5¹ इसलिए LCM(6, 20) = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 12 × 5 = 60

अतः HCF(6, 20) = 2 और LCM(6, 20) = 60

जाँच: LCM में दोनों संख्याएँ पूरी जानी चाहिए। 6 × 10 = 60 और 20 × 3 = 60 है ✓

किताब की बात: HCF × LCM = 2 × 60 = 120 है, और 6 × 20 = 120 भी है। दोनों बराबर हैं।

हल:

स्टेप 1: 96 को तोड़ो। 96 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 96 का पहला अंक 9 है। 9 में 2 जा सकता है, इसलिए 9 से शुरू करो।
   अब 9 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 और 2 × 5 = 10 होता है।
   10 तो 9 से बड़ा है, इसलिए 4 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 4 लिखो, और 9 के नीचे 8 लिखो।
   अब 9 में से 8 माइनस करो: 9 − 8 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 96 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 16 बन गया।
   अब 16 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 होता है, यानी ठीक 16 बन जाता है।
   भागफल में 8 लिखो, और 16 के नीचे 16 लिखो।
   अब 16 में से 16 माइनस करो: 16 − 16 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 96 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 96 ÷ 2 में भागफल 48 है और शेष 0 है। यानी 96 = 2 × 48

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 48 × 2 = 96 ✓

48 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 48 का पहला अंक 4 है। 4 में 2 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 48 का अगला अंक 8 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 8 है।
   अब 8 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 होता है, यानी ठीक 8 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 8 के नीचे 8 लिखो।
   अब 8 में से 8 माइनस करो: 8 − 8 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 48 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 48 ÷ 2 में भागफल 24 है और शेष 0 है। यानी 48 = 2 × 24

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 24 × 2 = 48 ✓

24 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 24 का पहला अंक 2 है। 2 में 2 जा सकता है, इसलिए 2 से शुरू करो।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 24 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 4 है।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 24 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 24 ÷ 2 में भागफल 12 है और शेष 0 है। यानी 24 = 2 × 12

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 12 × 2 = 24 ✓

12 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 12 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 12 लो।
   अब 12 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 6 = 12 होता है, यानी ठीक 12 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 12 के नीचे 12 लिखो।
   अब 12 में से 12 माइनस करो: 12 − 12 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 12 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 12 ÷ 2 में भागफल 6 है और शेष 0 है। यानी 12 = 2 × 6

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 6 × 2 = 12 ✓

6 भी सम है। 2 × 3 = 6, इसलिए 6 ÷ 2 = 3
3 खुद अभाज्य है, और 3 ÷ 3 = 1 होता है। अब रुक जाओ।

हमने 2 से पाँच बार और 3 से एक बार भाग दिया। इसलिए 96 = 2⁵ × 3

स्टेप 2: 404 को तोड़ो। 404 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 404 का पहला अंक 4 है। 4 में 2 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 404 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 404 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 4 है।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 404 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 404 ÷ 2 में भागफल 202 है और शेष 0 है। यानी 404 = 2 × 202

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 202 × 2 = 404 ✓

202 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 202 का पहला अंक 2 है। 2 में 2 जा सकता है, इसलिए 2 से शुरू करो।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 202 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 202 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 2 है।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 202 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 202 ÷ 2 में भागफल 101 है और शेष 0 है। यानी 202 = 2 × 101

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 101 × 2 = 202 ✓

स्टेप 3: 101 अभाज्य है या नहीं, यह जाँचो।

• 101 विषम है, इसलिए 2 से भाग नहीं जाता।
• अंकों का जोड़ 1 + 0 + 1 = 2 है, इसलिए 3 से भी नहीं।
• आखिरी अंक 1 है, इसलिए 5 से भी नहीं।
• अब 7 से भाग देकर देखो:

1. 101 का पहला अंक 1 है। 1, 7 से छोटा है, इसलिए 7 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 10 लो।
   अब 10 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 1 = 7 और 7 × 2 = 14 होता है।
   14 तो 10 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 10 के नीचे 7 लिखो।
   अब 10 में से 7 माइनस करो: 10 − 7 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 101 का अगला अंक 1 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 31 बन गया।
   अब 31 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 4 = 28 और 7 × 5 = 35 होता है।
   35 तो 31 से बड़ा है, इसलिए 4 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 4 लिखो, और 31 के नीचे 28 लिखो।
   अब 31 में से 28 माइनस करो: 31 − 28 = 3, यानी 3 बच गया।
   अब 101 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 101 ÷ 7 में भागफल 14 है और शेष 3 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 14 × 7 = 98, और 98 + 3 = 101 ✓

शेष 3 है, इसलिए 7 से भी पूरा भाग नहीं जाता। अगली अभाज्य संख्या 11 है, पर 11 × 11 = 121 है, जो 101 से बड़ा है। इसलिए अब जाँचना बंद करो। 101 अभाज्य है। इसलिए 404 = 2² × 101

कॉपी में दोनों सीढ़ियाँ:

स्टेप 4 (HCF): साझा अभाज्य संख्या सिर्फ 2 है। 96 में 2⁵ है और 404 में 2² है। छोटी घात 2² है। इसलिए HCF(96, 404) = 2² = 4

स्टेप 5 (LCM): सूत्र लगाओ: LCM = (96 × 404) ÷ HCF = (96 × 404) ÷ 4 96 × 404 एक बड़ा गुणा है। इसलिए पहले 404 में 4 से भाग दे दो, काम छोटा हो जाएगा।

1. 404 का पहला अंक 4 है। 4 में 4 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 4 कितनी बार जाएगा? 4 का पहाड़ा देखो।
   4 × 1 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 404 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 4 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 4 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 404 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 4 है।
   अब 4 में 4 कितनी बार जाएगा? 4 का पहाड़ा देखो।
   4 × 1 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 404 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 404 ÷ 4 में भागफल 101 है और शेष 0 है। यानी 404 = 4 × 101

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 101 × 4 = 404 ✓

स्टेप 6: अब LCM = 96 × 101 है। 101 = 100 + 1 है, इसलिए गुणा आसान है: 96 × 101 = 96 × 100 + 96 × 1 = 9600 + 96 = 9696

अतः HCF(96, 404) = 4 और LCM(96, 404) = 9696

जाँच: दूसरे तरीके से LCM निकालो। सारी अभाज्य संख्याएँ, बड़ी घात: 2⁵ × 3 × 101 2⁵ × 3 = 32 × 3 = 96, और 96 × 101 = 9696 है। वही उत्तर आया ✓

अब तुम करो: 15 और 25 का HCF और LCM निकालो।
उत्तर: 15 = 3 × 5 और 25 = 5² है। HCF = 5 और LCM = 3 × 5² = 75

हल:

स्टेप 1: 6 = 2 × 3 है, यह उदाहरण 2 में देखा था।

स्टेप 2: 72 को तोड़ो। 72 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 72 का पहला अंक 7 है। 7 में 2 जा सकता है, इसलिए 7 से शुरू करो।
   अब 7 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 और 2 × 4 = 8 होता है।
   8 तो 7 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 7 के नीचे 6 लिखो।
   अब 7 में से 6 माइनस करो: 7 − 6 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 72 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 12 बन गया।
   अब 12 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 6 = 12 होता है, यानी ठीक 12 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 12 के नीचे 12 लिखो।
   अब 12 में से 12 माइनस करो: 12 − 12 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 72 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 72 ÷ 2 में भागफल 36 है और शेष 0 है। यानी 72 = 2 × 36

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 36 × 2 = 72 ✓

36 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 36 का पहला अंक 3 है। 3 में 2 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 और 2 × 2 = 4 होता है।
   4 तो 3 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 2 लिखो।
   अब 3 में से 2 माइनस करो: 3 − 2 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 36 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 16 बन गया।
   अब 16 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 होता है, यानी ठीक 16 बन जाता है।
   भागफल में 8 लिखो, और 16 के नीचे 16 लिखो।
   अब 16 में से 16 माइनस करो: 16 − 16 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 36 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 36 ÷ 2 में भागफल 18 है और शेष 0 है। यानी 36 = 2 × 18

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 18 × 2 = 36 ✓

18 भी सम है। 2 × 9 = 18, इसलिए 18 ÷ 2 = 9
9 विषम है, पर अंकों का जोड़ 9 है, जो 3 से जाता है। 3 × 3 = 9, इसलिए 9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1, अब रुक जाओ।

हमने 2 से तीन बार और 3 से दो बार भाग दिया। इसलिए 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

स्टेप 3: 120 को तोड़ो। 120 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 120 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 12 लो।
   अब 12 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 6 = 12 होता है, यानी ठीक 12 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 12 के नीचे 12 लिखो।
   अब 12 में से 12 माइनस करो: 12 − 12 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 120 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 120 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 120 ÷ 2 में भागफल 60 है और शेष 0 है। यानी 120 = 2 × 60

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 60 × 2 = 120 ✓

60 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 60 का पहला अंक 6 है। 6 में 2 जा सकता है, इसलिए 6 से शुरू करो।
   अब 6 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 होता है, यानी ठीक 6 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 6 के नीचे 6 लिखो।
   अब 6 में से 6 माइनस करो: 6 − 6 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 60 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 60 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 60 ÷ 2 में भागफल 30 है और शेष 0 है। यानी 60 = 2 × 30

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 30 × 2 = 60 ✓

30 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 30 का पहला अंक 3 है। 3 में 2 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 और 2 × 2 = 4 होता है।
   4 तो 3 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 2 लिखो।
   अब 3 में से 2 माइनस करो: 3 − 2 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 30 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 30 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 30 ÷ 2 में भागफल 15 है और शेष 0 है। यानी 30 = 2 × 15

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 15 × 2 = 30 ✓

15 विषम है। अंकों का जोड़ 1 + 5 = 6 है, जो 3 से जाता है। 3 × 5 = 15, इसलिए 15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1, अब रुक जाओ।

इसलिए 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5

स्टेप 4 (HCF): तीनों संख्याओं में साझा अभाज्य संख्याएँ 2 और 3 हैं। 5 सिर्फ 120 में है, इसलिए वह नहीं आएगा। 2 की सबसे छोटी घात 2¹ है, जो 6 में है। 3 की सबसे छोटी घात 3¹ है, जो 6 और 120 में है। इसलिए HCF(6, 72, 120) = 2 × 3 = 6

स्टेप 5 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। बड़ी घातें: 2³ (72 और 120 में), 3² (72 में), और 5¹ (120 में) हैं। इसलिए LCM(6, 72, 120) = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360

अतः HCF(6, 72, 120) = 6 और LCM(6, 72, 120) = 360

जाँच: LCM में तीनों संख्याएँ पूरी जानी चाहिए। 6 × 60 = 360, 72 × 5 = 360 और 120 × 3 = 360 है ✓

हल:

स्टेप 1: ऊपर निकाला था: p × q × r = 51840 और HCF(6, 72, 120) = 6 इसलिए p × q × r × HCF = 51840 × 6 = 311040

स्टेप 2: अब दो-दो संख्याओं के HCF निकालो:

• HCF(6, 72) = 6, क्योंकि 72 = 6 × 12 है, यानी 6 से 72 में पूरा भाग जाता है।
• HCF(72, 120): 72 = 2³ × 3² और 120 = 2³ × 3 × 5 है। छोटी घातें 2³ और 3¹ हैं। इसलिए HCF = 8 × 3 = 24
• HCF(6, 120) = 6, क्योंकि 120 = 6 × 20 है।

इनका गुणा: 6 × 24 × 6 = 144 × 6 = 864

स्टेप 3: अब 311040 ÷ 864 करो।

1. 311040 का पहला अंक 3 है। 3, 864 से छोटा है, इसलिए 864 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   31 और 311 भी 864 से छोटे हैं।
   इसलिए पहले चार अंक लो, यानी 3110 लो।
   अब 3110 में 864 कितनी बार जाएगा? 864 को 1, 2, 3, ... से गुणा करके देखो।
   864 × 3 = 2400 + 192 = 2592 और 864 × 4 = 3200 + 256 = 3456 होता है।
   3456 तो 3110 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 3110 के नीचे 2592 लिखो।
   अब 3110 में से 2592 माइनस करो: 3110 − 2592 = 518, यानी 518 बच गया।
2. अब 311040 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। बचे हुए 518 के साथ मिलकर 5184 बन गया।
   अब 5184 में 864 कितनी बार जाएगा? 864 को 1, 2, 3, ... से गुणा करके देखो।
   864 × 6 = 4800 + 384 = 5184 होता है, यानी ठीक 5184 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 5184 के नीचे 5184 लिखो।
   अब 5184 में से 5184 माइनस करो: 5184 − 5184 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 311040 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 864 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 864 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 311040 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 311040 ÷ 864 में भागफल 360 है और शेष 0 है। यानी 311040 = 864 × 360

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 360 × 864 = 311040 ✓

अतः LCM = 360 है। यही ऊपर उदाहरण 4 में आया था ✓

हल:

स्टेप 1: मान रखो: 3 × 60 = 12 × दूसरी संख्या

स्टेप 2: 3 × 60 = 180 है। इसलिए 180 = 12 × दूसरी संख्या

स्टेप 3: दूसरी संख्या निकालने के लिए 180 में 12 से भाग दो। दूसरी संख्या = 180 ÷ 12

1. 180 का पहला अंक 1 है। 1, 12 से छोटा है, इसलिए 12 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 18 लो।
   अब 18 में 12 कितनी बार जाएगा? 12 का पहाड़ा देखो।
   12 × 1 = 12 और 12 × 2 = 24 होता है।
   24 तो 18 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 18 के नीचे 12 लिखो।
   अब 18 में से 12 माइनस करो: 18 − 12 = 6, यानी 6 बच गया।
2. अब 180 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 6 के साथ मिलकर 60 बन गया।
   अब 60 में 12 कितनी बार जाएगा? 12 का पहाड़ा देखो।
   12 × 5 = 60 होता है, यानी ठीक 60 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 60 के नीचे 60 लिखो।
   अब 60 में से 60 माइनस करो: 60 − 60 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 180 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 180 ÷ 12 में भागफल 15 है और शेष 0 है। यानी 180 = 12 × 15

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 15 × 12 = 180 ✓

अतः दूसरी संख्या 15 है। सही विकल्प (B) है।

जाँच: 12 = 2² × 3 और 15 = 3 × 5 है। HCF = 3 और LCM = 2² × 3 × 5 = 60 आता है ✓

हल:

स्टेप 1: 24 को तोड़ो। 24 ÷ 2 = 12 होता है। यह भाग उदाहरण 3 में पूरा किया है। 12 ÷ 2 = 6, 6 ÷ 2 = 3, और 3 ÷ 3 = 1 इसलिए 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

स्टेप 2: 36 को तोड़ो। 36 ÷ 2 = 18 होता है। यह भाग उदाहरण 4 में पूरा किया है। 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, और 3 ÷ 3 = 1 इसलिए 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

स्टेप 3 (HCF): साझा 2 और 3 हैं। छोटी घातें 2² और 3¹ हैं। HCF = 4 × 3 = 12

स्टेप 4 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2 और 3 हैं। बड़ी घातें 2³ और 3² हैं। LCM = 8 × 9 = 72

स्टेप 5: अब दोनों गुणा करके देखो:

• HCF × LCM = 12 × 72 = 12 × 70 + 12 × 2 = 840 + 24 = 864
• 24 × 36 = 24 × 30 + 24 × 6 = 720 + 144 = 864

अतः HCF = 12, LCM = 72, और दोनों गुणनफल 864 बराबर हैं ✓

हल:

स्टेप 1: 9 के गुणनखंड: 1, 3, 9 (क्योंकि 1 × 9 = 9 और 3 × 3 = 9)

स्टेप 2: 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (जोड़ियाँ 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4)

स्टेप 3: साझा गुणनखंड 1 और 3 हैं। इनमें सबसे बड़ा 3 है।

अंतिम उत्तर: HCF(9, 12) = 3

जाँच: 9 ÷ 3 = 3 और 12 ÷ 3 = 4, दोनों में शेष 0 है ✓

हल:

स्टेप 1: 6 का पहाड़ा: 6, 12, 18, 24, 30, ...

स्टेप 2: 8 का पहाड़ा: 8, 16, 24, 32, ...

स्टेप 3: दोनों में सबसे पहले 24 साथ आता है।

अंतिम उत्तर: LCM(6, 8) = 24

जाँच: 6 = 2 × 3 और 8 = 2³ है। बड़ी घातें लो: 2³ × 3 = 24, वही उत्तर ✓

हल:

स्टेप 1: मान रखो: 4 × 48 = 12 × दूसरी संख्या

स्टेप 2: 4 × 48 = 192 है। इसलिए दूसरी संख्या = 192 ÷ 12

1. 192 का पहला अंक 1 है। 1, 12 से छोटा है, इसलिए 12 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 19 लो।
   अब 19 में 12 कितनी बार जाएगा? 12 का पहाड़ा देखो।
   12 × 1 = 12 और 12 × 2 = 24 होता है।
   24 तो 19 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 19 के नीचे 12 लिखो।
   अब 19 में से 12 माइनस करो: 19 − 12 = 7, यानी 7 बच गया।
2. अब 192 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 7 के साथ मिलकर 72 बन गया।
   अब 72 में 12 कितनी बार जाएगा? 12 का पहाड़ा देखो।
   12 × 6 = 72 होता है, यानी ठीक 72 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 72 के नीचे 72 लिखो।
   अब 72 में से 72 माइनस करो: 72 − 72 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 192 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 192 ÷ 12 में भागफल 16 है और शेष 0 है। यानी 192 = 12 × 16

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 16 × 12 = 192 ✓

अंतिम उत्तर: दूसरी संख्या 16 है।

जाँच: 12 = 2² × 3 और 16 = 2⁴ है। HCF = 2² = 4 और LCM = 2⁴ × 3 = 48 आता है ✓

हल:

स्टेप 1: देखो कि 380 में 18 से पूरा भाग जाता है या नहीं।

1. 380 का पहला अंक 3 है। 3, 18 से छोटा है, इसलिए 18 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 38 लो।
   अब 38 में 18 कितनी बार जाएगा? 18 का पहाड़ा देखो।
   18 × 2 = 36 और 18 × 3 = 54 होता है।
   54 तो 38 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 38 के नीचे 36 लिखो।
   अब 38 में से 36 माइनस करो: 38 − 36 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 380 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 20 बन गया।
   अब 20 में 18 कितनी बार जाएगा? 18 का पहाड़ा देखो।
   18 × 1 = 18 और 18 × 2 = 36 होता है।
   36 तो 20 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 20 के नीचे 18 लिखो।
   अब 20 में से 18 माइनस करो: 20 − 18 = 2, यानी 2 बच गया।
   अब 380 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 380 ÷ 18 में भागफल 21 है और शेष 2 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 21 × 18 = 378, और 378 + 2 = 380 ✓

स्टेप 2: शेष 2 है, 0 नहीं। यानी 18 से 380 में पूरा भाग नहीं जाता।

अंतिम उत्तर: नहीं, ऐसी दो संख्याएँ नहीं हो सकतीं। क्योंकि HCF से LCM में हमेशा पूरा भाग जाना चाहिए।