अध्याय 1 का दोहराव, बोर्ड पैटर्न और अध्याय परीक्षा

हल:

• 1 का सिर्फ एक गुणनखंड है, और वह 1 खुद है। इसलिए 1 न अभाज्य है, न भाज्य।
• 2 के गुणनखंड 1 और 2 हैं, यानी ठीक दो। इसलिए 2 अभाज्य है।
• 9 = 3 × 3 है, यानी 3 भी गुणनखंड है। इसलिए 9 भाज्य है।
• 11 के गुणनखंड सिर्फ 1 और 11 हैं। इसलिए 11 अभाज्य है।
• 15 = 3 × 5 है। इसलिए 15 भाज्य है।

अंतिम उत्तर: अभाज्य संख्याएँ 2 और 11 हैं।

अभ्यास 0-2. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 को घात वाले रूप में लिखो, और इसका मान बताओ।

हल:

स्टेप 1: 2 तीन बार गुणा हुआ है, इसलिए 2³ लिखो। 3 दो बार गुणा हुआ है, इसलिए 3² लिखो।

स्टेप 2: मान निकालो: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 और 3² = 3 × 3 = 9 है। फिर 8 × 9 = 72

अंतिम उत्तर: 2³ × 3² = 72

अभ्यास 0-3. क्या 0.5 परिमेय है? इसे pq के रूप में लिखो।

हल:

स्टेप 1: 0.5 का मतलब "5 दसवाँ भाग" है, यानी 0.5 = 510

स्टेप 2: ऊपर-नीचे दोनों में 5 से भाग दो: 5 ÷ 5 = 1 और 10 ÷ 5 = 2 है। इसलिए 510 = 12

स्टेप 3: 12 में p = 1 और q = 2 है। दोनों पूर्णांक हैं, और q शून्य नहीं है।

अंतिम उत्तर: हाँ, 0.5 = 12 परिमेय है।

हल:

स्टेप 1: 90 का आखिरी अंक 0 है, इसलिए 90 सम है। 2 से भाग दो।

1. 90 का पहला अंक 9 है। 9 में 2 जा सकता है, इसलिए 9 से शुरू करो।
   अब 9 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 और 2 × 5 = 10 होता है।
   10 तो 9 से बड़ा है, इसलिए 4 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 4 लिखो, और 9 के नीचे 8 लिखो।
   अब 9 में से 8 माइनस करो: 9 − 8 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 90 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 90 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 90 ÷ 2 में भागफल 45 है और शेष 0 है। यानी 90 = 2 × 45

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 45 × 2 = 90 ✓

स्टेप 2: 45 विषम है। अंकों का जोड़ 4 + 5 = 9 है, जो 3 से जाता है। इसलिए 3 से भाग दो।

1. 45 का पहला अंक 4 है। 4 में 3 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 1 = 3 और 3 × 2 = 6 होता है।
   6 तो 4 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 4 के नीचे 3 लिखो।
   अब 4 में से 3 माइनस करो: 4 − 3 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 45 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 15 बन गया।
   अब 15 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 5 = 15 होता है, यानी ठीक 15 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 15 के नीचे 15 लिखो।
   अब 15 में से 15 माइनस करो: 15 − 15 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 45 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 45 ÷ 3 में भागफल 15 है और शेष 0 है। यानी 45 = 3 × 15

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 15 × 3 = 45 ✓

स्टेप 3: 15 के अंकों का जोड़ 6 है। 3 × 5 = 15, इसलिए 15 ÷ 3 = 5 होता है। 5 खुद अभाज्य है, और 5 ÷ 5 = 1 होता है। अब रुक जाओ।

अंतिम उत्तर: 90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5

जाँच: 2 × 9 × 5 = 18 × 5 = 90 ✓

अभ्यास 1-2. बताओ परिमेय है या अपरिमेय: √9, √7, 23

हल:

• 3 × 3 = 9 है, इसलिए √9 = 3 = 31 है। यह परिमेय है।
• 2 × 2 = 4 और 3 × 3 = 9 है। बीच में ऐसी कोई पूर्ण संख्या नहीं, जिसका वर्ग 7 हो। √7 अपरिमेय है।
• 23 पहले से pq के रूप में है। यह परिमेय है।

अभ्यास 1-3. 8 और 15 सहअभाज्य हैं या नहीं?

कौन-सा नियम लगेगा? सहअभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता।

हल:

स्टेप 1: 8 = 2 × 2 × 2 = 2³ और 15 = 3 × 5 है।

स्टेप 2: 8 में सिर्फ 2 है, और 15 में सिर्फ 3 और 5 हैं। कोई अभाज्य संख्या साझा नहीं है।

अंतिम उत्तर: हाँ, 8 और 15 सहअभाज्य हैं, जबकि दोनों खुद भाज्य संख्याएँ हैं।

हल:

स्टेप 1: मान रखो: 6 × 180 = 30 × दूसरी संख्या

स्टेप 2: बाईं तरफ 6 × 180 = 1080 है। इसलिए 1080 = 30 × दूसरी संख्या

स्टेप 3: दूसरी संख्या निकालने के लिए 1080 में 30 से भाग दो।

1. 1080 का पहला अंक 1 है। 1, 30 से छोटा है, इसलिए 30 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   10 भी 30 से छोटे हैं।
   इसलिए पहले तीन अंक लो, यानी 108 लो।
   अब 108 में 30 कितनी बार जाएगा? 30 को 1, 2, 3, ... से गुणा करके देखो।
   30 × 3 = 90 और 30 × 4 = 120 होता है।
   120 तो 108 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 108 के नीचे 90 लिखो।
   अब 108 में से 90 माइनस करो: 108 − 90 = 18, यानी 18 बच गया।
2. अब 1080 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 18 के साथ मिलकर 180 बन गया।
   अब 180 में 30 कितनी बार जाएगा? 30 को 1, 2, 3, ... से गुणा करके देखो।
   30 × 6 = 180 होता है, यानी ठीक 180 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 180 के नीचे 180 लिखो।
   अब 180 में से 180 माइनस करो: 180 − 180 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 1080 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 1080 ÷ 30 में भागफल 36 है और शेष 0 है। यानी 1080 = 30 × 36

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 36 × 30 = 1080 ✓

अंतिम उत्तर: दूसरी संख्या 36 है।

जाँच: 30 = 2 × 3 × 5 और 36 = 2² × 3² है। HCF = 2 × 3 = 6 और LCM = 2² × 3² × 5 = 180 आता है ✓

अभ्यास 2-2. क्या 15ⁿ (n प्राकृत संख्या) कभी अंक 0 पर खत्म हो सकती है?

हल:

स्टेप 1: 15 = 3 × 5 है। इसलिए 15ⁿ = 3ⁿ × 5ⁿ है। इसमें सिर्फ 3 और 5 हैं, 2 नहीं है।

स्टेप 2: 0 पर खत्म होने के लिए अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों चाहिए।

स्टेप 3: आधारभूत प्रमेय कहती है कि अभाज्य गुणनखंडन सिर्फ एक तरह का होता है। इसलिए 15ⁿ में 2 कभी नहीं आएगा।

अंतिम उत्तर: नहीं, 15ⁿ कभी अंक 0 पर खत्म नहीं होगी।

अभ्यास 2-3. 8, 12 और 20 का HCF और LCM निकालो।

हल:

स्टेप 1: 8 = 2³, 12 = 2² × 3 और 20 = 2² × 5 है।

स्टेप 2 (HCF): तीनों में साझा सिर्फ 2 है। 2 की सबसे छोटी घात 2² है। इसलिए HCF = 4

स्टेप 3 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। बड़ी घातें 2³, 3 और 5 हैं। LCM = 8 × 3 × 5 = 24 × 5 = 120

अंतिम उत्तर: HCF = 4 और LCM = 120

जाँच: 8 × 15 = 120, 12 × 10 = 120 और 20 × 6 = 120 है। तीनों 120 में पूरी जाती हैं ✓

हल:

स्टेप 1: 84 = 2² × 3 × 7 है, इसे पाठ 1 के प्रश्न 5 में तोड़ा था। 120 = 2³ × 3 × 5 है, इसे पाठ 3 के उदाहरण 4 में तोड़ा था।

स्टेप 2 (HCF): दोनों में साझा अभाज्य संख्याएँ 2 और 3 हैं। 2 की घातें 2² और 2³ हैं, छोटी 2² है। 3 की घात दोनों में 3¹ है। HCF = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

स्टेप 3 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 हैं। बड़ी घातें 2³, 3, 5, 7 हैं। LCM = 2³ × 3 × 5 × 7 = 8 × 3 × 5 × 7
8 × 3 = 24 और 5 × 7 = 35 है। फिर 24 × 35 = 24 × 30 + 24 × 5 = 720 + 120 = 840

स्टेप 4: अब दोनों गुणा करके देखो। HCF × LCM = 12 × 840 = 12 × 84 × 10 है। 12 × 84 = 10 × 84 + 2 × 84 = 840 + 168 = 1008 है। इसलिए 12 × 840 = 10080
84 × 120 = 84 × 12 × 10 है। ऊपर निकाला था कि 84 × 12 = 1008 है। इसलिए 84 × 120 = 10080

अंतिम उत्तर: HCF = 12 और LCM = 840 है। दोनों गुणा 10080 बराबर हैं ✓

अभ्यास 3-2. सिद्ध करो कि √7 अपरिमेय है।

कौन-सा तरीका लगेगा? तरीका 1, यानी √7 = ab मानकर वर्ग करना। 7 अभाज्य है, इसलिए प्रमेय 1.2 लगेगी।

हल:

स्टेप 1: उल्टा मान लेते हैं। मान लो √7 परिमेय है। तब:

यहाँ a, b सहअभाज्य पूर्णांक हैं, और b ≠ 0 है।

स्टेप 2: दोनों तरफ b से गुणा करो:

दाईं तरफ ऊपर-नीचे का b कट गया, इसलिए a बचा।

स्टेप 3: दोनों तरफ का वर्ग करो:

b × b = b² और √7 × √7 = 7 होता है। इसलिए:

यानी a² में 7 से पूरा भाग जाता है। 7 अभाज्य है, इसलिए प्रमेय 1.2 से a में भी जाएगा। इसलिए a = 7c लिखो, जहाँ c एक पूर्णांक है।

स्टेप 4: 7b² = a² में a = 7c रखो:

दोनों तरफ 7 से भाग दो:

49 ÷ 7 = 7 होता है, इसलिए दाईं तरफ 7c² बचा। अब b² में 7 से पूरा भाग जाता है, और प्रमेय 1.2 से b में भी।

स्टेप 5: उलटी बात को समझो। हमने माना था कि a और b में 1 के अलावा कुछ साझा नहीं है। लेकिन हल करने पर दोनों में 7 से पूरा भाग गया। ये दोनों बातें एक साथ सही नहीं हो सकतीं। इसलिए शुरुआत में √7 को परिमेय मानना गलत था।

अंतिम उत्तर: √7 अपरिमेय है।

अभ्यास 3-3. सिद्ध करो कि 2 − 3√5 अपरिमेय है।

कौन-सा तरीका लगेगा? तरीका 2, यानी √5 को अकेला करना।

हल:

स्टेप 1: उल्टा मान लेते हैं। मान लो 2 − 3√5 परिमेय है। तब:

यहाँ a, b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है।

स्टेप 2: 3√5 के आगे ऋण है। दोनों तरफ 3√5 जोड़ो:

अब दोनों तरफ से ab घटाओ:

स्टेप 3: बाईं तरफ एक भिन्न बनाओ। 2 = 2bb लिखो:

स्टेप 4: √5 के साथ लगा 3 हटाओ। दोनों तरफ 3 से भाग दो:

स्टेप 5: ऊपर 2b − a और नीचे 3b, दोनों पूर्णांक हैं, और 3b शून्य नहीं है। इसलिए √5 परिमेय हुआ। लेकिन पाठ 6 के प्रश्न 1 से √5 अपरिमेय है। ये दोनों बातें एक साथ सही नहीं हो सकतीं। इसलिए शुरुआत में 2 − 3√5 को परिमेय मानना गलत था।

अंतिम उत्तर: 2 − 3√5 अपरिमेय है।

हल:

स्टेप 1: 6 = 2 × 3, 8 = 2³ और 12 = 2² × 3 है।

स्टेप 2: सारी अभाज्य संख्याएँ 2 और 3 हैं। बड़ी घातें 2³ और 3 हैं। LCM = 8 × 3 = 24 मिनट

स्टेप 3: 8:00 बजे के 24 मिनट बाद 8:24 होगा।

अंतिम उत्तर: तीनों घंटियाँ सुबह 8:24 बजे फिर एक साथ बजेंगी।

जाँच: 6 × 4 = 24, 8 × 3 = 24 और 12 × 2 = 24 है। तीनों 24 मिनट पर बजती हैं ✓

अभ्यास 4-2. सबसे बड़ी संख्या निकालो, जिससे भाग देने पर 70 में 5 और 125 में 8 बचे।

प्रश्न क्या कह रहा है? एक संख्या ढूँढनी है। उससे 70 में भाग दो, तो 5 बचे। 125 में भाग दो, तो 8 बचे।

कौन-सा नियम लगेगा? जो बचता है, उसे पहले घटा दो। तब पूरा भाग जाएगा। फिर "सबसे बड़ी संख्या जिससे दोनों में पूरा भाग जाए" = HCF

हल:

स्टेप 1: 70 में 5 बचता है, तो 70 − 5 = 65 में पूरा भाग जाएगा।

स्टेप 2: 125 में 8 बचता है, तो 125 − 8 = 117 में पूरा भाग जाएगा।

स्टेप 3: अब HCF(65, 117) निकालो। पहले 65 को तोड़ो। आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो।

1. 65 का पहला अंक 6 है। 6 में 5 जा सकता है, इसलिए 6 से शुरू करो।
   अब 6 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 1 = 5 और 5 × 2 = 10 होता है।
   10 तो 6 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 6 के नीचे 5 लिखो।
   अब 6 में से 5 माइनस करो: 6 − 5 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 65 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 15 बन गया।
   अब 15 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 3 = 15 होता है, यानी ठीक 15 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 15 के नीचे 15 लिखो।
   अब 15 में से 15 माइनस करो: 15 − 15 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 65 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 65 ÷ 5 में भागफल 13 है और शेष 0 है। यानी 65 = 5 × 13

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 13 × 5 = 65 ✓

13 खुद अभाज्य है। इसलिए 65 = 5 × 13

स्टेप 4: अब 117 को तोड़ो। 117 विषम है। अंकों का जोड़ 1 + 1 + 7 = 9 है, जो 3 से जाता है।

1. 117 का पहला अंक 1 है। 1, 3 से छोटा है, इसलिए 3 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 11 लो।
   अब 11 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 3 = 9 और 3 × 4 = 12 होता है।
   12 तो 11 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 11 के नीचे 9 लिखो।
   अब 11 में से 9 माइनस करो: 11 − 9 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 117 का अगला अंक 7 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 27 बन गया।
   अब 27 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 9 = 27 होता है, यानी ठीक 27 बन जाता है।
   भागफल में 9 लिखो, और 27 के नीचे 27 लिखो।
   अब 27 में से 27 माइनस करो: 27 − 27 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 117 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 117 ÷ 3 में भागफल 39 है और शेष 0 है। यानी 117 = 3 × 39

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 39 × 3 = 117 ✓

39 के अंकों का जोड़ 12 है, जो फिर 3 से जाता है।

1. 39 का पहला अंक 3 है। 3 में 3 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 1 = 3 होता है, यानी ठीक 3 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 3 लिखो।
   अब 3 में से 3 माइनस करो: 3 − 3 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 39 का अगला अंक 9 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 9 है।
   अब 9 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 3 = 9 होता है, यानी ठीक 9 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 9 के नीचे 9 लिखो।
   अब 9 में से 9 माइनस करो: 9 − 9 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 39 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 39 ÷ 3 में भागफल 13 है और शेष 0 है। यानी 39 = 3 × 13

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 13 × 3 = 39 ✓

13 खुद अभाज्य है। इसलिए 117 = 3 × 3 × 13 = 3² × 13

स्टेप 5: 65 = 5 × 13 और 117 = 3² × 13 में साझा सिर्फ 13 है। इसलिए HCF = 13

अंतिम उत्तर: वह सबसे बड़ी संख्या 13 है।

जाँच: अब 70 और 125 में 13 से भाग देकर शेष देखो।

1. 70 का पहला अंक 7 है। 7, 13 से छोटा है, इसलिए 13 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 70 लो।
   अब 70 में 13 कितनी बार जाएगा? 13 का पहाड़ा देखो।
   13 × 5 = 65 और 13 × 6 = 78 होता है।
   78 तो 70 से बड़ा है, इसलिए 5 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 5 लिखो, और 70 के नीचे 65 लिखो।
   अब 70 में से 65 माइनस करो: 70 − 65 = 5, यानी 5 बच गया।
   अब 70 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 70 ÷ 13 में भागफल 5 है और शेष 5 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 5 × 13 = 65, और 65 + 5 = 70 ✓

1. 125 का पहला अंक 1 है। 1, 13 से छोटा है, इसलिए 13 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   12 भी 13 से छोटे हैं।
   इसलिए पहले तीन अंक लो, यानी 125 लो।
   अब 125 में 13 कितनी बार जाएगा? 13 का पहाड़ा देखो।
   13 × 9 = 117 और 13 × 10 = 130 होता है।
   130 तो 125 से बड़ा है, इसलिए 9 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 9 लिखो, और 125 के नीचे 117 लिखो।
   अब 125 में से 117 माइनस करो: 125 − 117 = 8, यानी 8 बच गया।
   अब 125 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 125 ÷ 13 में भागफल 9 है और शेष 8 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 9 × 13 = 117, और 117 + 8 = 125 ✓

शेष 5 और 8 आए, जैसा प्रश्न में कहा था ✓

अभ्यास 4-3. √3 और √12 दोनों अपरिमेय हैं। उनका गुणा परिमेय है या अपरिमेय?

हल:

स्टेप 1: √ वाली दो संख्याओं का गुणा एक ही √ के अंदर कर सकते हैं: √3 × √12 = √(3 × 12) = √36

स्टेप 2: 6 × 6 = 36 है, इसलिए √36 = 6 है। और 6 = 61 परिमेय है।

अंतिम उत्तर: गुणा 6 है, जो परिमेय है। इससे पता चलता है कि दो अपरिमेय संख्याओं का गुणा हमेशा अपरिमेय नहीं होता।

हल:

1. n = 2 पर 8 से भाग नहीं गया। पर 2 एक पूर्णांक भी है, प्राकृत संख्या भी है और सम संख्या भी।
2. इसलिए (A), (B) और (D) हमेशा सही नहीं हैं।
3. हर विषम n पर बात बनी।

यह हमेशा क्यों होता है (समझने के लिए):

1. हर विषम संख्या को 2k + 1 लिख सकते हैं, जहाँ k कोई पूर्ण संख्या है। जैसे 7 = 2 × 3 + 1 है।
2. n² − 1 = (n − 1)(n + 1) होता है। n = 2k + 1 रखो: (2k)(2k + 2) = 2k × 2(k + 1) = 4 × k(k + 1)
3. k और k + 1 लगातार दो संख्याएँ हैं, जैसे 3 और 4 हैं। इनमें से एक हमेशा सम होती है। इसलिए k(k + 1) में 2 से भाग जाता है।
4. तो n² − 1 = 4 × 2 × (कोई संख्या) = 8 × (कोई संख्या) है। यानी 8 से पूरा भाग जाता है।

अतः सही विकल्प (C) विषम संख्या है।

हल:

स्टेप 1: 72 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 72 का पहला अंक 7 है। 7 में 2 जा सकता है, इसलिए 7 से शुरू करो।
   अब 7 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 और 2 × 4 = 8 होता है।
   8 तो 7 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 7 के नीचे 6 लिखो।
   अब 7 में से 6 माइनस करो: 7 − 6 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 72 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 12 बन गया।
   अब 12 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 6 = 12 होता है, यानी ठीक 12 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 12 के नीचे 12 लिखो।
   अब 12 में से 12 माइनस करो: 12 − 12 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 72 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 72 ÷ 2 में भागफल 36 है और शेष 0 है। यानी 72 = 2 × 36

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 36 × 2 = 72 ✓

स्टेप 2: 36 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 36 का पहला अंक 3 है। 3 में 2 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 और 2 × 2 = 4 होता है।
   4 तो 3 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 2 लिखो।
   अब 3 में से 2 माइनस करो: 3 − 2 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 36 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 16 बन गया।
   अब 16 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 होता है, यानी ठीक 16 बन जाता है।
   भागफल में 8 लिखो, और 16 के नीचे 16 लिखो।
   अब 16 में से 16 माइनस करो: 16 − 16 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 36 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 36 ÷ 2 में भागफल 18 है और शेष 0 है। यानी 36 = 2 × 18

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 18 × 2 = 36 ✓

स्टेप 3: 2 × 9 = 18, इसलिए 18 ÷ 2 = 9 होता है। फिर 3 × 3 = 9, इसलिए 9 ÷ 3 = 3 और 3 ÷ 3 = 1 होता है।

स्टेप 4: 2 से तीन बार और 3 से दो बार भाग दिया। इसलिए 72 = 2³ × 3²

अतः सही विकल्प (A) है।

हल:

स्टेप 1: दोनों संख्याओं में 2 और 3 साझा हैं।

स्टेप 2: 2 की घातें 2³ और 2² हैं, छोटी 2² है। 3 की घातें 3² और 3³ हैं, छोटी 3² है।

स्टेप 3: HCF = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

अतः सही विकल्प (A) है। (216 = 2³ × 3³ है, यह LCM है, HCF नहीं।)

हल:

स्टेप 1: दो संख्याएँ हैं, इसलिए HCF × LCM = पहली × दूसरी। यानी 4 × 48 = 12 × दूसरी संख्या

स्टेप 2: 4 × 48 = 192 है। इसलिए दूसरी संख्या = 192 ÷ 12

1. 192 का पहला अंक 1 है। 1, 12 से छोटा है, इसलिए 12 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 19 लो।
   अब 19 में 12 कितनी बार जाएगा? 12 का पहाड़ा देखो।
   12 × 1 = 12 और 12 × 2 = 24 होता है।
   24 तो 19 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 19 के नीचे 12 लिखो।
   अब 19 में से 12 माइनस करो: 19 − 12 = 7, यानी 7 बच गया।
2. अब 192 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 7 के साथ मिलकर 72 बन गया।
   अब 72 में 12 कितनी बार जाएगा? 12 का पहाड़ा देखो।
   12 × 6 = 72 होता है, यानी ठीक 72 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 72 के नीचे 72 लिखो।
   अब 72 में से 72 माइनस करो: 72 − 72 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 192 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 192 ÷ 12 में भागफल 16 है और शेष 0 है। यानी 192 = 12 × 16

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 16 × 12 = 192 ✓

अतः सही विकल्प (B) है।

जाँच: 12 = 2² × 3 और 16 = 2⁴ है। HCF = 2² = 4 और LCM = 2⁴ × 3 = 48 आता है ✓

हल:

• 4 × 4 = 16 है, इसलिए √16 = 4 परिमेय है।
• 0.25 = 25100 = 14 परिमेय है।
• 227 पहले से भिन्न है, इसलिए परिमेय है।
• 3 × 3 = 9 और 4 × 4 = 16 है। बीच में कोई पूर्ण संख्या नहीं, जिसका वर्ग 11 हो। इसलिए √11 अपरिमेय है।

अतः सही विकल्प (C) है।

हल:

स्टेप 1: 2ⁿ में सिर्फ अभाज्य संख्या 2 है, 5 नहीं है।

स्टेप 2: 0 पर खत्म होने के लिए 2 और 5 दोनों चाहिए। आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता से 5 कभी नहीं आएगा।

अतः सही विकल्प (D) है।

हल:

स्टेप 1: 4620 का आखिरी अंक 0 है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 4620 का पहला अंक 4 है। 4 में 2 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 4620 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 6 है।
   अब 6 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 होता है, यानी ठीक 6 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 6 के नीचे 6 लिखो।
   अब 6 में से 6 माइनस करो: 6 − 6 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 4620 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 2 है।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
4. अब 4620 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 4620 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 4620 ÷ 2 में भागफल 2310 है और शेष 0 है। यानी 4620 = 2 × 2310

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 2310 × 2 = 4620 ✓

स्टेप 2: 2310 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 2310 का पहला अंक 2 है। 2 में 2 जा सकता है, इसलिए 2 से शुरू करो।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 2310 का अगला अंक 3 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 3 है।
   अब 3 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 और 2 × 2 = 4 होता है।
   4 तो 3 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 2 लिखो।
   अब 3 में से 2 माइनस करो: 3 − 2 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 2310 का अगला अंक 1 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 11 बन गया।
   अब 11 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 और 2 × 6 = 12 होता है।
   12 तो 11 से बड़ा है, इसलिए 5 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 5 लिखो, और 11 के नीचे 10 लिखो।
   अब 11 में से 10 माइनस करो: 11 − 10 = 1, यानी 1 बच गया।
4. अब 2310 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 2310 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 2310 ÷ 2 में भागफल 1155 है और शेष 0 है। यानी 2310 = 2 × 1155

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 1155 × 2 = 2310 ✓

स्टेप 3: 1155 विषम है। अंकों का जोड़ 1 + 1 + 5 + 5 = 12 है, जो 3 से जाता है।

1. 1155 का पहला अंक 1 है। 1, 3 से छोटा है, इसलिए 3 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 11 लो।
   अब 11 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 3 = 9 और 3 × 4 = 12 होता है।
   12 तो 11 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 11 के नीचे 9 लिखो।
   अब 11 में से 9 माइनस करो: 11 − 9 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 1155 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 25 बन गया।
   अब 25 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 8 = 24 और 3 × 9 = 27 होता है।
   27 तो 25 से बड़ा है, इसलिए 8 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 8 लिखो, और 25 के नीचे 24 लिखो।
   अब 25 में से 24 माइनस करो: 25 − 24 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 1155 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 15 बन गया।
   अब 15 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 5 = 15 होता है, यानी ठीक 15 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 15 के नीचे 15 लिखो।
   अब 15 में से 15 माइनस करो: 15 − 15 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 1155 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 1155 ÷ 3 में भागफल 385 है और शेष 0 है। यानी 1155 = 3 × 385

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 385 × 3 = 1155 ✓

स्टेप 4: 385 के अंकों का जोड़ 16 है, जो 3 से नहीं जाता। आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो।

1. 385 का पहला अंक 3 है। 3, 5 से छोटा है, इसलिए 5 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 38 लो।
   अब 38 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 7 = 35 और 5 × 8 = 40 होता है।
   40 तो 38 से बड़ा है, इसलिए 7 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 7 लिखो, और 38 के नीचे 35 लिखो।
   अब 38 में से 35 माइनस करो: 38 − 35 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 385 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 35 बन गया।
   अब 35 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 7 = 35 होता है, यानी ठीक 35 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 35 के नीचे 35 लिखो।
   अब 35 में से 35 माइनस करो: 35 − 35 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 385 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 385 ÷ 5 में भागफल 77 है और शेष 0 है। यानी 385 = 5 × 77

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 77 × 5 = 385 ✓

स्टेप 5: 77 का आखिरी अंक 7 है, इसलिए 5 से नहीं। 7 × 11 = 77 है, इसलिए 77 ÷ 7 = 11 होता है। 11 खुद अभाज्य है, और 11 ÷ 11 = 1 होता है। अब रुक जाओ।

अतः 4620 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2² × 3 × 5 × 7 × 11

जाँच: 4 × 3 = 12, 12 × 5 = 60, 60 × 7 = 420 और 420 × 11 = 4620 ✓

हल:

स्टेप 1: 90 = 2 × 3² × 5 है। यह ऊपर अभ्यास 1-1 में निकाला था।

स्टेप 2: 144 को तोड़ो। 144 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 144 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 14 लो।
   अब 14 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 7 = 14 होता है, यानी ठीक 14 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 14 के नीचे 14 लिखो।
   अब 14 में से 14 माइनस करो: 14 − 14 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 144 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 4 है।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 144 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 144 ÷ 2 में भागफल 72 है और शेष 0 है। यानी 144 = 2 × 72

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 72 × 2 = 144 ✓

प्रश्न 1 में निकाला था कि 72 = 2³ × 3² है। इसलिए 144 = 2 × 72 = 2⁴ × 3²

स्टेप 3 (HCF): साझा 2 और 3 हैं। छोटी घातें 2¹ और 3² हैं। HCF = 2 × 9 = 18

स्टेप 4 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 हैं। बड़ी घातें 2⁴, 3², 5 हैं। LCM = 16 × 9 × 5 = 144 × 5 = 720

स्टेप 5 (जाँच):

• HCF × LCM = 18 × 720 = 18 × 72 × 10 = 1296 × 10 = 12960
• 90 × 144 = 9 × 144 × 10 = 1296 × 10 = 12960

दोनों बराबर हैं ✓

हल:

स्टेप 1: उल्टा मान लेते हैं। मान लो 5√3 परिमेय है। तब:

यहाँ a, b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है।

स्टेप 2: √3 को अकेला करो। √3 के साथ 5 का गुणा है, इसलिए दोनों तरफ 5 से भाग दो:

बाईं तरफ 5 कट गया। दाईं तरफ भिन्न में 5 से भाग देने पर नीचे वाला b, 5b बन गया।

स्टेप 3: ऊपर a और नीचे 5b पूर्णांक हैं, और 5b शून्य नहीं है। इसलिए a5b परिमेय है, यानी √3 परिमेय हुआ।

स्टेप 4: उलटी बात को समझो। लेकिन पाठ 5 के उदाहरण 5 से √3 अपरिमेय है। ये दोनों बातें एक साथ सही नहीं हो सकतीं। इसलिए शुरुआत में 5√3 को परिमेय मानना गलत था।

अतः 5√3 अपरिमेय है।

हल:

स्टेप 1: उल्टा मान लेते हैं। मान लो √3 परिमेय है। तब:

यहाँ a, b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है।

स्टेप 2: दोनों तरफ b से गुणा करो:

स्टेप 3: दोनों तरफ का वर्ग करो:

क्योंकि b × b = b² और √3 × √3 = 3 होता है। यानी a² में 3 से भाग जाता है। 3 अभाज्य है, इसलिए प्रमेय 1.2 से a में भी। इसलिए a = 3c लिखो।

स्टेप 4: a = 3c रखो:

दोनों तरफ 3 से भाग दो:

9 ÷ 3 = 3 होता है। अब b² में 3 से भाग जाता है, और प्रमेय 1.2 से b में भी।

स्टेप 5: हमने माना था कि a और b में 1 के अलावा कुछ साझा नहीं है। पर हल करने पर दोनों में 3 से भाग गया। ये दोनों बातें एक साथ सही नहीं हो सकतीं, इसलिए √3 को परिमेय मानना गलत था। √3 अपरिमेय है।

दूसरा भाग: 2 + √3 अपरिमेय है

हल:

स्टेप 1: उल्टा मान लेते हैं। मान लो 2 + √3 परिमेय है। तब:

यहाँ a, b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है।

स्टेप 2: √3 को अकेला करो। दोनों तरफ से 2 घटाओ:

स्टेप 3: 2 = 2bb लिखो, ताकि दोनों के नीचे b हो:

स्टेप 4: ऊपर a − 2b और नीचे b पूर्णांक हैं, और b ≠ 0 है। इसलिए √3 परिमेय हुआ। पर पहले भाग में हमने सिद्ध किया कि √3 अपरिमेय है। ये दोनों बातें एक साथ सही नहीं हो सकतीं। इसलिए शुरुआत में 2 + √3 को परिमेय मानना गलत था।

अतः 2 + √3 अपरिमेय है।

हल:

स्टेप 1: 850 को तोड़ो। आखिरी अंक 0 है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 850 का पहला अंक 8 है। 8 में 2 जा सकता है, इसलिए 8 से शुरू करो।
   अब 8 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 होता है, यानी ठीक 8 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 8 के नीचे 8 लिखो।
   अब 8 में से 8 माइनस करो: 8 − 8 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 850 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 5 है।
   अब 5 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 और 2 × 3 = 6 होता है।
   6 तो 5 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 5 के नीचे 4 लिखो।
   अब 5 में से 4 माइनस करो: 5 − 4 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 850 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 850 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 850 ÷ 2 में भागफल 425 है और शेष 0 है। यानी 850 = 2 × 425

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 425 × 2 = 850 ✓

425 का आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो।

1. 425 का पहला अंक 4 है। 4, 5 से छोटा है, इसलिए 5 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 42 लो।
   अब 42 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 8 = 40 और 5 × 9 = 45 होता है।
   45 तो 42 से बड़ा है, इसलिए 8 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 8 लिखो, और 42 के नीचे 40 लिखो।
   अब 42 में से 40 माइनस करो: 42 − 40 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 425 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 25 बन गया।
   अब 25 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 5 = 25 होता है, यानी ठीक 25 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 25 के नीचे 25 लिखो।
   अब 25 में से 25 माइनस करो: 25 − 25 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 425 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 425 ÷ 5 में भागफल 85 है और शेष 0 है। यानी 425 = 5 × 85

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 85 × 5 = 425 ✓

85 का आखिरी अंक 5 है, फिर 5 से भाग दो।

1. 85 का पहला अंक 8 है। 8 में 5 जा सकता है, इसलिए 8 से शुरू करो।
   अब 8 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 1 = 5 और 5 × 2 = 10 होता है।
   10 तो 8 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 8 के नीचे 5 लिखो।
   अब 8 में से 5 माइनस करो: 8 − 5 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 85 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 35 बन गया।
   अब 35 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 7 = 35 होता है, यानी ठीक 35 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 35 के नीचे 35 लिखो।
   अब 35 में से 35 माइनस करो: 35 − 35 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 85 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 85 ÷ 5 में भागफल 17 है और शेष 0 है। यानी 85 = 5 × 17

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 17 × 5 = 85 ✓

17 खुद अभाज्य है। इसलिए 850 = 2 × 5 × 5 × 17 = 2 × 5² × 17

स्टेप 2: 680 को तोड़ो। आखिरी अंक 0 है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 680 का पहला अंक 6 है। 6 में 2 जा सकता है, इसलिए 6 से शुरू करो।
   अब 6 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 होता है, यानी ठीक 6 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 6 के नीचे 6 लिखो।
   अब 6 में से 6 माइनस करो: 6 − 6 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 680 का अगला अंक 8 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 8 है।
   अब 8 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 होता है, यानी ठीक 8 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 8 के नीचे 8 लिखो।
   अब 8 में से 8 माइनस करो: 8 − 8 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 680 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 680 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 680 ÷ 2 में भागफल 340 है और शेष 0 है। यानी 680 = 2 × 340

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 340 × 2 = 680 ✓

340 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 340 का पहला अंक 3 है। 3 में 2 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 और 2 × 2 = 4 होता है।
   4 तो 3 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 2 लिखो।
   अब 3 में से 2 माइनस करो: 3 − 2 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 340 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 14 बन गया।
   अब 14 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 7 = 14 होता है, यानी ठीक 14 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 14 के नीचे 14 लिखो।
   अब 14 में से 14 माइनस करो: 14 − 14 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 340 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 340 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 340 ÷ 2 में भागफल 170 है और शेष 0 है। यानी 340 = 2 × 170

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 170 × 2 = 340 ✓

170 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 170 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 17 लो।
   अब 17 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 और 2 × 9 = 18 होता है।
   18 तो 17 से बड़ा है, इसलिए 8 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 8 लिखो, और 17 के नीचे 16 लिखो।
   अब 17 में से 16 माइनस करो: 17 − 16 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 170 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 170 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 170 ÷ 2 में भागफल 85 है और शेष 0 है। यानी 170 = 2 × 85

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 85 × 2 = 170 ✓

ऊपर देखा था कि 85 = 5 × 17 है। इसलिए 680 = 2 × 2 × 2 × 5 × 17 = 2³ × 5 × 17

स्टेप 3 (HCF): साझा 2, 5 और 17 हैं। छोटी घातें 2¹, 5¹ और 17 हैं। HCF = 2 × 5 × 17 = 10 × 17 = 170 लीटर

स्टेप 4: हर टंकी कितनी बार नापनी होगी, यह भाग देकर निकालो।

1. 850 का पहला अंक 8 है। 8, 170 से छोटा है, इसलिए 170 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   85 भी 170 से छोटे हैं।
   इसलिए पहले तीन अंक लो, यानी 850 लो।
   अब 850 में 170 कितनी बार जाएगा? 170 को 1, 2, 3, ... से गुणा करके देखो।
   170 × 5 = 500 + 350 = 850 होता है, यानी ठीक 850 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 850 के नीचे 850 लिखो।
   अब 850 में से 850 माइनस करो: 850 − 850 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 850 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 850 ÷ 170 में भागफल 5 है और शेष 0 है। यानी 850 = 170 × 5

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 5 × 170 = 850 ✓

1. 680 का पहला अंक 6 है। 6, 170 से छोटा है, इसलिए 170 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   68 भी 170 से छोटे हैं।
   इसलिए पहले तीन अंक लो, यानी 680 लो।
   अब 680 में 170 कितनी बार जाएगा? 170 को 1, 2, 3, ... से गुणा करके देखो।
   170 × 4 = 400 + 280 = 680 होता है, यानी ठीक 680 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 680 के नीचे 680 लिखो।
   अब 680 में से 680 माइनस करो: 680 − 680 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 680 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 680 ÷ 170 में भागफल 4 है और शेष 0 है। यानी 680 = 170 × 4

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 4 × 170 = 680 ✓

अतः सबसे बड़ा बर्तन 170 लीटर का होगा। पहली टंकी 5 बार और दूसरी टंकी 4 बार नापी जाएगी।

अंक: खण्ड अ = 5, खण्ड ब = 6, खण्ड स = 9 अंक हैं। कुल 20 अंक हैं।