प्रश्नावली 1.1: सारे प्रश्न, पूरे हल

हल:

स्टेप 1: 140 का आखिरी अंक 0 है, इसलिए 140 सम है। 2 से भाग दो।

1. 140 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 14 लो।
   अब 14 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 7 = 14 होता है, यानी ठीक 14 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 14 के नीचे 14 लिखो।
   अब 14 में से 14 माइनस करो: 14 − 14 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 140 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 2 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 2 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 140 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 140 ÷ 2 में भागफल 70 है और शेष 0 है। यानी 140 = 2 × 70

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 70 × 2 = 140 ✓

स्टेप 2: 70 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 70 का पहला अंक 7 है। 7 में 2 जा सकता है, इसलिए 7 से शुरू करो।
   अब 7 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 और 2 × 4 = 8 होता है।
   8 तो 7 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 7 के नीचे 6 लिखो।
   अब 7 में से 6 माइनस करो: 7 − 6 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 70 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 70 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 70 ÷ 2 में भागफल 35 है और शेष 0 है। यानी 70 = 2 × 35

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 35 × 2 = 70 ✓

स्टेप 3: 35 विषम है, इसलिए 2 से नहीं जाएगा। अंकों का जोड़ 3 + 5 = 8 है, जो 3 से नहीं जाता। आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो। 5 का पहाड़ा: 5 × 7 = 35, इसलिए 35 ÷ 5 = 7

स्टेप 4: 7 खुद अभाज्य है। 7 ÷ 7 = 1 होता है, अब रुक जाओ।

अतः 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7

जाँच: 2² × 5 × 7 = 4 × 5 × 7 = 20 × 7 = 140 ✓

हल:

स्टेप 1: 156 का आखिरी अंक 6 है, इसलिए 156 सम है। 2 से भाग दो।

1. 156 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 15 लो।
   अब 15 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 7 = 14 और 2 × 8 = 16 होता है।
   16 तो 15 से बड़ा है, इसलिए 7 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 7 लिखो, और 15 के नीचे 14 लिखो।
   अब 15 में से 14 माइनस करो: 15 − 14 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 156 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 16 बन गया।
   अब 16 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 होता है, यानी ठीक 16 बन जाता है।
   भागफल में 8 लिखो, और 16 के नीचे 16 लिखो।
   अब 16 में से 16 माइनस करो: 16 − 16 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 156 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 156 ÷ 2 में भागफल 78 है और शेष 0 है। यानी 156 = 2 × 78

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 78 × 2 = 156 ✓

स्टेप 2: 78 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 78 का पहला अंक 7 है। 7 में 2 जा सकता है, इसलिए 7 से शुरू करो।
   अब 7 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 और 2 × 4 = 8 होता है।
   8 तो 7 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 7 के नीचे 6 लिखो।
   अब 7 में से 6 माइनस करो: 7 − 6 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 78 का अगला अंक 8 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 18 बन गया।
   अब 18 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 9 = 18 होता है, यानी ठीक 18 बन जाता है।
   भागफल में 9 लिखो, और 18 के नीचे 18 लिखो।
   अब 18 में से 18 माइनस करो: 18 − 18 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 78 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 78 ÷ 2 में भागफल 39 है और शेष 0 है। यानी 78 = 2 × 39

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 39 × 2 = 78 ✓

स्टेप 3: 39 विषम है। अंकों का जोड़ 3 + 9 = 12 है, जो 3 से जाता है। इसलिए 3 से भाग दो।

1. 39 का पहला अंक 3 है। 3 में 3 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 1 = 3 होता है, यानी ठीक 3 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 3 लिखो।
   अब 3 में से 3 माइनस करो: 3 − 3 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 39 का अगला अंक 9 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 9 है।
   अब 9 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 3 = 9 होता है, यानी ठीक 9 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 9 के नीचे 9 लिखो।
   अब 9 में से 9 माइनस करो: 9 − 9 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 39 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 39 ÷ 3 में भागफल 13 है और शेष 0 है। यानी 39 = 3 × 13

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 13 × 3 = 39 ✓

स्टेप 4: 13 खुद अभाज्य है। 13 ÷ 13 = 1 होता है, अब रुक जाओ।

अतः 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13

जाँच: 2² × 3 × 13 = 4 × 3 × 13 = 12 × 13 = 156 ✓

हल:

स्टेप 1: 3825 का आखिरी अंक 5 है, इसलिए यह विषम है। 2 से भाग नहीं जाएगा। अंकों का जोड़ 3 + 8 + 2 + 5 = 18 है, जो 3 से जाता है। इसलिए 3 से भाग दो।

1. 3825 का पहला अंक 3 है। 3 में 3 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 1 = 3 होता है, यानी ठीक 3 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 3 लिखो।
   अब 3 में से 3 माइनस करो: 3 − 3 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 3825 का अगला अंक 8 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 8 है।
   अब 8 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 2 = 6 और 3 × 3 = 9 होता है।
   9 तो 8 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 8 के नीचे 6 लिखो।
   अब 8 में से 6 माइनस करो: 8 − 6 = 2, यानी 2 बच गया।
3. अब 3825 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 22 बन गया।
   अब 22 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 7 = 21 और 3 × 8 = 24 होता है।
   24 तो 22 से बड़ा है, इसलिए 7 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 7 लिखो, और 22 के नीचे 21 लिखो।
   अब 22 में से 21 माइनस करो: 22 − 21 = 1, यानी 1 बच गया।
4. अब 3825 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 15 बन गया।
   अब 15 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 5 = 15 होता है, यानी ठीक 15 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 15 के नीचे 15 लिखो।
   अब 15 में से 15 माइनस करो: 15 − 15 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 3825 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 3825 ÷ 3 में भागफल 1275 है और शेष 0 है। यानी 3825 = 3 × 1275

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 1275 × 3 = 3825 ✓

स्टेप 2: 1275 के अंकों का जोड़ 1 + 2 + 7 + 5 = 15 है, जो फिर 3 से जाता है।

1. 1275 का पहला अंक 1 है। 1, 3 से छोटा है, इसलिए 3 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 12 लो।
   अब 12 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 4 = 12 होता है, यानी ठीक 12 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 12 के नीचे 12 लिखो।
   अब 12 में से 12 माइनस करो: 12 − 12 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 1275 का अगला अंक 7 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 7 है।
   अब 7 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 2 = 6 और 3 × 3 = 9 होता है।
   9 तो 7 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 7 के नीचे 6 लिखो।
   अब 7 में से 6 माइनस करो: 7 − 6 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 1275 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 15 बन गया।
   अब 15 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 5 = 15 होता है, यानी ठीक 15 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 15 के नीचे 15 लिखो।
   अब 15 में से 15 माइनस करो: 15 − 15 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 1275 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 1275 ÷ 3 में भागफल 425 है और शेष 0 है। यानी 1275 = 3 × 425

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 425 × 3 = 1275 ✓

स्टेप 3: 425 के अंकों का जोड़ 4 + 2 + 5 = 11 है, जो 3 से नहीं जाता। आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो।

1. 425 का पहला अंक 4 है। 4, 5 से छोटा है, इसलिए 5 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 42 लो।
   अब 42 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 8 = 40 और 5 × 9 = 45 होता है।
   45 तो 42 से बड़ा है, इसलिए 8 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 8 लिखो, और 42 के नीचे 40 लिखो।
   अब 42 में से 40 माइनस करो: 42 − 40 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 425 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 25 बन गया।
   अब 25 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 5 = 25 होता है, यानी ठीक 25 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 25 के नीचे 25 लिखो।
   अब 25 में से 25 माइनस करो: 25 − 25 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 425 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 425 ÷ 5 में भागफल 85 है और शेष 0 है। यानी 425 = 5 × 85

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 85 × 5 = 425 ✓

स्टेप 4: 85 का आखिरी अंक भी 5 है, फिर 5 से भाग दो।

1. 85 का पहला अंक 8 है। 8 में 5 जा सकता है, इसलिए 8 से शुरू करो।
   अब 8 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 1 = 5 और 5 × 2 = 10 होता है।
   10 तो 8 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 8 के नीचे 5 लिखो।
   अब 8 में से 5 माइनस करो: 8 − 5 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 85 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 35 बन गया।
   अब 35 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 7 = 35 होता है, यानी ठीक 35 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 35 के नीचे 35 लिखो।
   अब 35 में से 35 माइनस करो: 35 − 35 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 85 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 85 ÷ 5 में भागफल 17 है और शेष 0 है। यानी 85 = 5 × 17

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 17 × 5 = 85 ✓

स्टेप 5: 17 खुद अभाज्य है। 17 ÷ 17 = 1 होता है, अब रुक जाओ।

अतः 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17

जाँच: 3² × 5² = 9 × 25 = 225, और 225 × 17 = 225 × 10 + 225 × 7 = 2250 + 1575 = 3825 ✓

हल:

स्टेप 1: 5005 विषम है, इसलिए 2 से नहीं। अंकों का जोड़ 5 + 0 + 0 + 5 = 10 है, इसलिए 3 से भी नहीं। आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो।

1. 5005 का पहला अंक 5 है। 5 में 5 जा सकता है, इसलिए 5 से शुरू करो।
   अब 5 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 1 = 5 होता है, यानी ठीक 5 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 5 के नीचे 5 लिखो।
   अब 5 में से 5 माइनस करो: 5 − 5 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 5005 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 5 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 5 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
3. अब 5005 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 0 है।
   0 में 5 एक बार भी नहीं जाता, क्योंकि 5 × 0 = 0 होता है।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 0 − 0 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
4. अब 5005 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 5 है।
   अब 5 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 1 = 5 होता है, यानी ठीक 5 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 5 के नीचे 5 लिखो।
   अब 5 में से 5 माइनस करो: 5 − 5 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 5005 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 5005 ÷ 5 में भागफल 1001 है और शेष 0 है। यानी 5005 = 5 × 1001

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 1001 × 5 = 5005 ✓

स्टेप 2: 1001 का आखिरी अंक 1 है, इसलिए 5 से नहीं। अंकों का जोड़ 2 है, इसलिए 3 से भी नहीं। अगली अभाज्य संख्या 7 है। 7 का कोई आसान नियम नहीं है, इसलिए भाग देकर देखो।

1. 1001 का पहला अंक 1 है। 1, 7 से छोटा है, इसलिए 7 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 10 लो।
   अब 10 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 1 = 7 और 7 × 2 = 14 होता है।
   14 तो 10 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 10 के नीचे 7 लिखो।
   अब 10 में से 7 माइनस करो: 10 − 7 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 1001 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 30 बन गया।
   अब 30 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 4 = 28 और 7 × 5 = 35 होता है।
   35 तो 30 से बड़ा है, इसलिए 4 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 4 लिखो, और 30 के नीचे 28 लिखो।
   अब 30 में से 28 माइनस करो: 30 − 28 = 2, यानी 2 बच गया।
3. अब 1001 का अगला अंक 1 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 21 बन गया।
   अब 21 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 3 = 21 होता है, यानी ठीक 21 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 21 के नीचे 21 लिखो।
   अब 21 में से 21 माइनस करो: 21 − 21 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 1001 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 1001 ÷ 7 में भागफल 143 है और शेष 0 है। यानी 1001 = 7 × 143

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 143 × 7 = 1001 ✓

स्टेप 3: 143 में 7 से भाग नहीं जाता, क्योंकि 7 × 20 = 140 है और 3 बचते हैं। अगली अभाज्य संख्या 11 है। 11 से भाग दो।

1. 143 का पहला अंक 1 है। 1, 11 से छोटा है, इसलिए 11 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 14 लो।
   अब 14 में 11 कितनी बार जाएगा? 11 का पहाड़ा देखो।
   11 × 1 = 11 और 11 × 2 = 22 होता है।
   22 तो 14 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 14 के नीचे 11 लिखो।
   अब 14 में से 11 माइनस करो: 14 − 11 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 143 का अगला अंक 3 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 33 बन गया।
   अब 33 में 11 कितनी बार जाएगा? 11 का पहाड़ा देखो।
   11 × 3 = 33 होता है, यानी ठीक 33 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 33 के नीचे 33 लिखो।
   अब 33 में से 33 माइनस करो: 33 − 33 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 143 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 143 ÷ 11 में भागफल 13 है और शेष 0 है। यानी 143 = 11 × 13

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 13 × 11 = 143 ✓

स्टेप 4: 13 खुद अभाज्य है। 13 ÷ 13 = 1 होता है, अब रुक जाओ।

अतः 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

जाँच: 5 × 7 = 35 और 11 × 13 = 143 है। फिर 35 × 143 = 30 × 143 + 5 × 143 = 4290 + 715 = 5005 ✓

हल:

स्टेप 1: 2, 3 और 5 को नियम से जाँचो:

• 7429 विषम है, इसलिए 2 से भाग नहीं जाता।
• अंकों का जोड़ 7 + 4 + 2 + 9 = 22 है, जो 3 से नहीं जाता।
• आखिरी अंक 9 है, न 0 है, न 5 है। इसलिए 5 से भी भाग नहीं जाता।

स्टेप 2: 7 का नियम नहीं है, इसलिए भाग देकर देखो।

1. 7429 का पहला अंक 7 है। 7 में 7 जा सकता है, इसलिए 7 से शुरू करो।
   अब 7 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 1 = 7 होता है, यानी ठीक 7 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 7 के नीचे 7 लिखो।
   अब 7 में से 7 माइनस करो: 7 − 7 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 7429 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 4 है।
   4, 7 से छोटा है, इसलिए 7 इसमें एक बार भी नहीं जाता।
   इसलिए भागफल में 0 लिखो। 4 में से 0 माइनस करो, तो 4 ही बचा।
3. अब 7429 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 4 के साथ मिलकर 42 बन गया।
   अब 42 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 6 = 42 होता है, यानी ठीक 42 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 42 के नीचे 42 लिखो।
   अब 42 में से 42 माइनस करो: 42 − 42 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
4. अब 7429 का अगला अंक 9 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 9 है।
   अब 9 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 1 = 7 और 7 × 2 = 14 होता है।
   14 तो 9 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 9 के नीचे 7 लिखो।
   अब 9 में से 7 माइनस करो: 9 − 7 = 2, यानी 2 बच गया।
   अब 7429 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 7429 ÷ 7 में भागफल 1061 है और शेष 2 है।

भागफल में 0 लिखना क्यों ज़रूरी है? 0 छोड़ दो, तो जवाब 161 आता। पर 161 × 7 = 1127 होता है, 7429 नहीं। इसलिए बीच का 0 ज़रूर लिखो।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 1061 × 7 = 7427, और 7427 + 2 = 7429 ✓

शेष 2 है, 0 नहीं। इसलिए 7 से पूरा भाग नहीं जाता।

स्टेप 3: अगली अभाज्य संख्या 11 है।

1. 7429 का पहला अंक 7 है। 7, 11 से छोटा है, इसलिए 11 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 74 लो।
   अब 74 में 11 कितनी बार जाएगा? 11 का पहाड़ा देखो।
   11 × 6 = 66 और 11 × 7 = 77 होता है।
   77 तो 74 से बड़ा है, इसलिए 6 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 6 लिखो, और 74 के नीचे 66 लिखो।
   अब 74 में से 66 माइनस करो: 74 − 66 = 8, यानी 8 बच गया।
2. अब 7429 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 8 के साथ मिलकर 82 बन गया।
   अब 82 में 11 कितनी बार जाएगा? 11 का पहाड़ा देखो।
   11 × 7 = 77 और 11 × 8 = 88 होता है।
   88 तो 82 से बड़ा है, इसलिए 7 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 7 लिखो, और 82 के नीचे 77 लिखो।
   अब 82 में से 77 माइनस करो: 82 − 77 = 5, यानी 5 बच गया।
3. अब 7429 का अगला अंक 9 नीचे लाओ। बचे हुए 5 के साथ मिलकर 59 बन गया।
   अब 59 में 11 कितनी बार जाएगा? 11 का पहाड़ा देखो।
   11 × 5 = 55 और 11 × 6 = 66 होता है।
   66 तो 59 से बड़ा है, इसलिए 5 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 5 लिखो, और 59 के नीचे 55 लिखो।
   अब 59 में से 55 माइनस करो: 59 − 55 = 4, यानी 4 बच गया।
   अब 7429 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 7429 ÷ 11 में भागफल 675 है और शेष 4 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 675 × 11 = 7425, और 7425 + 4 = 7429 ✓

शेष 4 है, 0 नहीं। इसलिए 11 से भी पूरा भाग नहीं जाता।

स्टेप 4: अगली अभाज्य संख्या 13 है।

1. 7429 का पहला अंक 7 है। 7, 13 से छोटा है, इसलिए 13 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 74 लो।
   अब 74 में 13 कितनी बार जाएगा? 13 का पहाड़ा देखो।
   13 × 5 = 65 और 13 × 6 = 78 होता है।
   78 तो 74 से बड़ा है, इसलिए 5 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 5 लिखो, और 74 के नीचे 65 लिखो।
   अब 74 में से 65 माइनस करो: 74 − 65 = 9, यानी 9 बच गया।
2. अब 7429 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 9 के साथ मिलकर 92 बन गया।
   अब 92 में 13 कितनी बार जाएगा? 13 का पहाड़ा देखो।
   13 × 7 = 91 और 13 × 8 = 104 होता है।
   104 तो 92 से बड़ा है, इसलिए 7 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 7 लिखो, और 92 के नीचे 91 लिखो।
   अब 92 में से 91 माइनस करो: 92 − 91 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 7429 का अगला अंक 9 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 19 बन गया।
   अब 19 में 13 कितनी बार जाएगा? 13 का पहाड़ा देखो।
   13 × 1 = 13 और 13 × 2 = 26 होता है।
   26 तो 19 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 19 के नीचे 13 लिखो।
   अब 19 में से 13 माइनस करो: 19 − 13 = 6, यानी 6 बच गया।
   अब 7429 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 7429 ÷ 13 में भागफल 571 है और शेष 6 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 571 × 13 = 7423, और 7423 + 6 = 7429 ✓

शेष 6 है, 0 नहीं। इसलिए 13 से भी पूरा भाग नहीं जाता।

स्टेप 5: अगली अभाज्य संख्या 17 है।

1. 7429 का पहला अंक 7 है। 7, 17 से छोटा है, इसलिए 17 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 74 लो।
   अब 74 में 17 कितनी बार जाएगा? 17 का पहाड़ा देखो।
   17 × 4 = 68 और 17 × 5 = 85 होता है।
   85 तो 74 से बड़ा है, इसलिए 4 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 4 लिखो, और 74 के नीचे 68 लिखो।
   अब 74 में से 68 माइनस करो: 74 − 68 = 6, यानी 6 बच गया।
2. अब 7429 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 6 के साथ मिलकर 62 बन गया।
   अब 62 में 17 कितनी बार जाएगा? 17 का पहाड़ा देखो।
   17 × 3 = 51 और 17 × 4 = 68 होता है।
   68 तो 62 से बड़ा है, इसलिए 3 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 3 लिखो, और 62 के नीचे 51 लिखो।
   अब 62 में से 51 माइनस करो: 62 − 51 = 11, यानी 11 बच गया।
3. अब 7429 का अगला अंक 9 नीचे लाओ। बचे हुए 11 के साथ मिलकर 119 बन गया।
   अब 119 में 17 कितनी बार जाएगा? 17 का पहाड़ा देखो।
   17 × 7 = 119 होता है, यानी ठीक 119 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 119 के नीचे 119 लिखो।
   अब 119 में से 119 माइनस करो: 119 − 119 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 7429 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 7429 ÷ 17 में भागफल 437 है और शेष 0 है। यानी 7429 = 17 × 437

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 437 × 17 = 7429 ✓

शेष 0 है। इसलिए 17 से पूरा भाग जाता है, और 7429 = 17 × 437

स्टेप 6: अब 437 को तोड़ना है। 2, 3, 5, 7, 11, 13 से जाँचने की ज़रूरत नहीं। ऐसा क्यों? इनसे 7429 में भाग नहीं गया था। 437 तो 7429 का एक गुणनखंड है। अगर 437 में इनसे भाग जाता, तो 7429 में भी चला जाता। इसलिए 17 से शुरू करो।

1. 437 का पहला अंक 4 है। 4, 17 से छोटा है, इसलिए 17 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 43 लो।
   अब 43 में 17 कितनी बार जाएगा? 17 का पहाड़ा देखो।
   17 × 2 = 34 और 17 × 3 = 51 होता है।
   51 तो 43 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 43 के नीचे 34 लिखो।
   अब 43 में से 34 माइनस करो: 43 − 34 = 9, यानी 9 बच गया।
2. अब 437 का अगला अंक 7 नीचे लाओ। बचे हुए 9 के साथ मिलकर 97 बन गया।
   अब 97 में 17 कितनी बार जाएगा? 17 का पहाड़ा देखो।
   17 × 5 = 85 और 17 × 6 = 102 होता है।
   102 तो 97 से बड़ा है, इसलिए 5 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 5 लिखो, और 97 के नीचे 85 लिखो।
   अब 97 में से 85 माइनस करो: 97 − 85 = 12, यानी 12 बच गया।
   अब 437 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 437 ÷ 17 में भागफल 25 है और शेष 12 है।

जाँच: भागफल × भाजक + शेष = भाज्य होना चाहिए। 25 × 17 = 425, और 425 + 12 = 437 ✓

शेष 12 है, इसलिए 17 से नहीं जाता। अगली अभाज्य संख्या 19 है।

1. 437 का पहला अंक 4 है। 4, 19 से छोटा है, इसलिए 19 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 43 लो।
   अब 43 में 19 कितनी बार जाएगा? 19 का पहाड़ा देखो।
   19 × 2 = 38 और 19 × 3 = 57 होता है।
   57 तो 43 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 43 के नीचे 38 लिखो।
   अब 43 में से 38 माइनस करो: 43 − 38 = 5, यानी 5 बच गया।
2. अब 437 का अगला अंक 7 नीचे लाओ। बचे हुए 5 के साथ मिलकर 57 बन गया।
   अब 57 में 19 कितनी बार जाएगा? 19 का पहाड़ा देखो।
   19 × 3 = 57 होता है, यानी ठीक 57 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 57 के नीचे 57 लिखो।
   अब 57 में से 57 माइनस करो: 57 − 57 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 437 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 437 ÷ 19 में भागफल 23 है और शेष 0 है। यानी 437 = 19 × 23

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 23 × 19 = 437 ✓

स्टेप 7: 23 खुद अभाज्य है। 23 ÷ 23 = 1 होता है, अब रुक जाओ।

अतः 7429 = 17 × 19 × 23

जाँच: 17 × 19 = 17 × 20 − 17 = 340 − 17 = 323 फिर 323 × 23 = 323 × 20 + 323 × 3 = 6460 + 969 = 7429 ✓

अब तुम करो: 100 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखो।
उत्तर: 100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5 और 5 ÷ 5 = 1 होता है। इसलिए 100 = 2² × 5²

हल:

स्टेप 1: 26 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 26 का पहला अंक 2 है। 2 में 2 जा सकता है, इसलिए 2 से शुरू करो।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 26 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 6 है।
   अब 6 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 होता है, यानी ठीक 6 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 6 के नीचे 6 लिखो।
   अब 6 में से 6 माइनस करो: 6 − 6 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 26 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 26 ÷ 2 में भागफल 13 है और शेष 0 है। यानी 26 = 2 × 13

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 13 × 2 = 26 ✓

13 खुद अभाज्य है। इसलिए 26 = 2 × 13

स्टेप 2: 91 विषम है, इसलिए 2 से नहीं। अंकों का जोड़ 10 है, इसलिए 3 से नहीं। आखिरी अंक 1 है, इसलिए 5 से नहीं। अब 7 से भाग दो।

1. 91 का पहला अंक 9 है। 9 में 7 जा सकता है, इसलिए 9 से शुरू करो।
   अब 9 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 1 = 7 और 7 × 2 = 14 होता है।
   14 तो 9 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 9 के नीचे 7 लिखो।
   अब 9 में से 7 माइनस करो: 9 − 7 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 91 का अगला अंक 1 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 21 बन गया।
   अब 21 में 7 कितनी बार जाएगा? 7 का पहाड़ा देखो।
   7 × 3 = 21 होता है, यानी ठीक 21 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 21 के नीचे 21 लिखो।
   अब 21 में से 21 माइनस करो: 21 − 21 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 91 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 91 ÷ 7 में भागफल 13 है और शेष 0 है। यानी 91 = 7 × 13

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 13 × 7 = 91 ✓

13 खुद अभाज्य है। इसलिए 91 = 7 × 13

स्टेप 3 (HCF): दोनों में साझा अभाज्य संख्या सिर्फ 13 है। इसलिए HCF = 13

स्टेप 4 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 7 और 13 हैं, हर एक एक बार। LCM = 2 × 7 × 13 = 14 × 13 = 14 × 10 + 14 × 3 = 140 + 42 = 182

स्टेप 5 (जाँच):

• HCF × LCM = 13 × 182 = 13 × 180 + 13 × 2 = 2340 + 26 = 2366
• दोनों संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 26 × 90 + 26 × 1 = 2340 + 26 = 2366

अतः HCF = 13, LCM = 182, और 26 × 91 = 13 × 182 = 2366 है। जाँच सही है ✓

हल:

स्टेप 1: 510 को तोड़ो। आखिरी अंक 0 है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 510 का पहला अंक 5 है। 5 में 2 जा सकता है, इसलिए 5 से शुरू करो।
   अब 5 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 और 2 × 3 = 6 होता है।
   6 तो 5 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 5 के नीचे 4 लिखो।
   अब 5 में से 4 माइनस करो: 5 − 4 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 510 का अगला अंक 1 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 11 बन गया।
   अब 11 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 और 2 × 6 = 12 होता है।
   12 तो 11 से बड़ा है, इसलिए 5 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 5 लिखो, और 11 के नीचे 10 लिखो।
   अब 11 में से 10 माइनस करो: 11 − 10 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 510 का अगला अंक 0 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 10 बन गया।
   अब 10 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 5 = 10 होता है, यानी ठीक 10 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 10 के नीचे 10 लिखो।
   अब 10 में से 10 माइनस करो: 10 − 10 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 510 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 510 ÷ 2 में भागफल 255 है और शेष 0 है। यानी 510 = 2 × 255

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 255 × 2 = 510 ✓

255 विषम है। अंकों का जोड़ 2 + 5 + 5 = 12 है, जो 3 से जाता है।

1. 255 का पहला अंक 2 है। 2, 3 से छोटा है, इसलिए 3 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 25 लो।
   अब 25 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 8 = 24 और 3 × 9 = 27 होता है।
   27 तो 25 से बड़ा है, इसलिए 8 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 8 लिखो, और 25 के नीचे 24 लिखो।
   अब 25 में से 24 माइनस करो: 25 − 24 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 255 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 15 बन गया।
   अब 15 में 3 कितनी बार जाएगा? 3 का पहाड़ा देखो।
   3 × 5 = 15 होता है, यानी ठीक 15 बन जाता है।
   भागफल में 5 लिखो, और 15 के नीचे 15 लिखो।
   अब 15 में से 15 माइनस करो: 15 − 15 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 255 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 255 ÷ 3 में भागफल 85 है और शेष 0 है। यानी 255 = 3 × 85

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 85 × 3 = 255 ✓

85 का आखिरी अंक 5 है, इसलिए 5 से भाग दो।

1. 85 का पहला अंक 8 है। 8 में 5 जा सकता है, इसलिए 8 से शुरू करो।
   अब 8 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 1 = 5 और 5 × 2 = 10 होता है।
   10 तो 8 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 8 के नीचे 5 लिखो।
   अब 8 में से 5 माइनस करो: 8 − 5 = 3, यानी 3 बच गया।
2. अब 85 का अगला अंक 5 नीचे लाओ। बचे हुए 3 के साथ मिलकर 35 बन गया।
   अब 35 में 5 कितनी बार जाएगा? 5 का पहाड़ा देखो।
   5 × 7 = 35 होता है, यानी ठीक 35 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 35 के नीचे 35 लिखो।
   अब 35 में से 35 माइनस करो: 35 − 35 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 85 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 85 ÷ 5 में भागफल 17 है और शेष 0 है। यानी 85 = 5 × 17

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 17 × 5 = 85 ✓

17 खुद अभाज्य है। इसलिए 510 = 2 × 3 × 5 × 17

स्टेप 2: 92 को तोड़ो। 92 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 92 का पहला अंक 9 है। 9 में 2 जा सकता है, इसलिए 9 से शुरू करो।
   अब 9 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 और 2 × 5 = 10 होता है।
   10 तो 9 से बड़ा है, इसलिए 4 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 4 लिखो, और 9 के नीचे 8 लिखो।
   अब 9 में से 8 माइनस करो: 9 − 8 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 92 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 12 बन गया।
   अब 12 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 6 = 12 होता है, यानी ठीक 12 बन जाता है।
   भागफल में 6 लिखो, और 12 के नीचे 12 लिखो।
   अब 12 में से 12 माइनस करो: 12 − 12 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 92 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 92 ÷ 2 में भागफल 46 है और शेष 0 है। यानी 92 = 2 × 46

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 46 × 2 = 92 ✓

46 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 46 का पहला अंक 4 है। 4 में 2 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 46 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 6 है।
   अब 6 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 3 = 6 होता है, यानी ठीक 6 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 6 के नीचे 6 लिखो।
   अब 6 में से 6 माइनस करो: 6 − 6 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 46 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 46 ÷ 2 में भागफल 23 है और शेष 0 है। यानी 46 = 2 × 23

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 23 × 2 = 46 ✓

23 खुद अभाज्य है। इसलिए 92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23

स्टेप 3 (HCF): साझा अभाज्य संख्या सिर्फ 2 है। 510 में 2¹ और 92 में 2² है। छोटी घात 2¹ है। इसलिए HCF = 2

स्टेप 4 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 17 और 23 हैं। 2 की बड़ी घात 2² है। LCM = 2² × 3 × 5 × 17 × 23

अब एक-एक करके गुणा करो:

• 4 × 3 = 12, फिर 12 × 5 = 60
• 60 × 17 = 60 × 10 + 60 × 7 = 600 + 420 = 1020
• 1020 × 23 = 1020 × 20 + 1020 × 3 = 20400 + 3060 = 23460

स्टेप 5 (जाँच):

• HCF × LCM = 2 × 23460 = 46920
• 510 × 92 = 510 × 90 + 510 × 2 = 45900 + 1020 = 46920

अतः HCF = 2, LCM = 23460, और 510 × 92 = 2 × 23460 = 46920 है। जाँच सही है ✓

हल:

स्टेप 1: 336 को तोड़ो। 336 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 336 का पहला अंक 3 है। 3 में 2 जा सकता है, इसलिए 3 से शुरू करो।
   अब 3 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 और 2 × 2 = 4 होता है।
   4 तो 3 से बड़ा है, इसलिए 1 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 1 लिखो, और 3 के नीचे 2 लिखो।
   अब 3 में से 2 माइनस करो: 3 − 2 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 336 का अगला अंक 3 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 13 बन गया।
   अब 13 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 6 = 12 और 2 × 7 = 14 होता है।
   14 तो 13 से बड़ा है, इसलिए 6 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 6 लिखो, और 13 के नीचे 12 लिखो।
   अब 13 में से 12 माइनस करो: 13 − 12 = 1, यानी 1 बच गया।
3. अब 336 का अगला अंक 6 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 16 बन गया।
   अब 16 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 होता है, यानी ठीक 16 बन जाता है।
   भागफल में 8 लिखो, और 16 के नीचे 16 लिखो।
   अब 16 में से 16 माइनस करो: 16 − 16 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 336 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 336 ÷ 2 में भागफल 168 है और शेष 0 है। यानी 336 = 2 × 168

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 168 × 2 = 336 ✓

168 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 168 का पहला अंक 1 है। 1, 2 से छोटा है, इसलिए 2 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 16 लो।
   अब 16 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 8 = 16 होता है, यानी ठीक 16 बन जाता है।
   भागफल में 8 लिखो, और 16 के नीचे 16 लिखो।
   अब 16 में से 16 माइनस करो: 16 − 16 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 168 का अगला अंक 8 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 8 है।
   अब 8 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 होता है, यानी ठीक 8 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 8 के नीचे 8 लिखो।
   अब 8 में से 8 माइनस करो: 8 − 8 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 168 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 168 ÷ 2 में भागफल 84 है और शेष 0 है। यानी 168 = 2 × 84

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 84 × 2 = 168 ✓

84 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 84 का पहला अंक 8 है। 8 में 2 जा सकता है, इसलिए 8 से शुरू करो।
   अब 8 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 4 = 8 होता है, यानी ठीक 8 बन जाता है।
   भागफल में 4 लिखो, और 8 के नीचे 8 लिखो।
   अब 8 में से 8 माइनस करो: 8 − 8 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 84 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 4 है।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 84 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 84 ÷ 2 में भागफल 42 है और शेष 0 है। यानी 84 = 2 × 42

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 42 × 2 = 84 ✓

42 भी सम है, फिर 2 से भाग दो।

1. 42 का पहला अंक 4 है। 4 में 2 जा सकता है, इसलिए 4 से शुरू करो।
   अब 4 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 होता है, यानी ठीक 4 बन जाता है।
   भागफल में 2 लिखो, और 4 के नीचे 4 लिखो।
   अब 4 में से 4 माइनस करो: 4 − 4 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
2. अब 42 का अगला अंक 2 नीचे लाओ। पीछे कुछ नहीं बचा था, इसलिए अब हमारे पास सिर्फ 2 है।
   अब 2 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 1 = 2 होता है, यानी ठीक 2 बन जाता है।
   भागफल में 1 लिखो, और 2 के नीचे 2 लिखो।
   अब 2 में से 2 माइनस करो: 2 − 2 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 42 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 42 ÷ 2 में भागफल 21 है और शेष 0 है। यानी 42 = 2 × 21

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 21 × 2 = 42 ✓

21 विषम है। अंकों का जोड़ 3 है, इसलिए 3 से भाग दो: 3 × 7 = 21, इसलिए 21 ÷ 3 = 7
7 खुद अभाज्य है। हमने 2 से चार बार भाग दिया, फिर 3 और 7 से। इसलिए 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2⁴ × 3 × 7

स्टेप 2: 54 को तोड़ो। 54 सम है, इसलिए 2 से भाग दो।

1. 54 का पहला अंक 5 है। 5 में 2 जा सकता है, इसलिए 5 से शुरू करो।
   अब 5 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 2 = 4 और 2 × 3 = 6 होता है।
   6 तो 5 से बड़ा है, इसलिए 2 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 2 लिखो, और 5 के नीचे 4 लिखो।
   अब 5 में से 4 माइनस करो: 5 − 4 = 1, यानी 1 बच गया।
2. अब 54 का अगला अंक 4 नीचे लाओ। बचे हुए 1 के साथ मिलकर 14 बन गया।
   अब 14 में 2 कितनी बार जाएगा? 2 का पहाड़ा देखो।
   2 × 7 = 14 होता है, यानी ठीक 14 बन जाता है।
   भागफल में 7 लिखो, और 14 के नीचे 14 लिखो।
   अब 14 में से 14 माइनस करो: 14 − 14 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 54 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 54 ÷ 2 में भागफल 27 है और शेष 0 है। यानी 54 = 2 × 27

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 27 × 2 = 54 ✓

27 के अंकों का जोड़ 9 है, इसलिए 3 से भाग दो: 3 × 9 = 27, इसलिए 27 ÷ 3 = 9
फिर 9 ÷ 3 = 3 और 3 ÷ 3 = 1 होता है। इसलिए 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³

स्टेप 3 (HCF): साझा अभाज्य संख्याएँ 2 और 3 हैं। छोटी घातें 2¹ और 3¹ हैं। इसलिए HCF = 2 × 3 = 6

स्टेप 4 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 7 हैं। बड़ी घातें 2⁴, 3³ और 7¹ हैं। LCM = 2⁴ × 3³ × 7 = 16 × 27 × 7 16 × 27 = 16 × 20 + 16 × 7 = 320 + 112 = 432, और 432 × 7 = 3024

स्टेप 5 (जाँच):

• HCF × LCM = 6 × 3024 = 18144
• 336 × 54 = 336 × 50 + 336 × 4 = 16800 + 1344 = 18144

अतः HCF = 6, LCM = 3024, और 336 × 54 = 6 × 3024 = 18144 है। जाँच सही है ✓

अब तुम करो: 15 और 20 का HCF और LCM निकालो, और जाँचो कि HCF × LCM = 15 × 20 है।
उत्तर: 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5 है। HCF = 5, LCM = 60, और 5 × 60 = 300 = 15 × 20

हल:

स्टेप 1: 2 × 6 = 12 है, इसलिए 12 ÷ 2 = 6 होता है। फिर 6 ÷ 2 = 3 और 3 ÷ 3 = 1 होता है। इसलिए 12 = 2² × 3

स्टेप 2: 15 का आखिरी अंक 5 है, और 3 × 5 = 15 है। इसलिए 15 = 3 × 5

स्टेप 3: 21 के अंकों का जोड़ 3 है, और 3 × 7 = 21 है। इसलिए 21 = 3 × 7

स्टेप 4 (HCF): तीनों में साझा अभाज्य संख्या सिर्फ 3 है। इसलिए HCF = 3

स्टेप 5 (LCM): सारी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं। बड़ी घातें 2², 3, 5 और 7 हैं। LCM = 4 × 3 × 5 × 7 = 12 × 35 = 420

अतः HCF = 3, LCM = 420

जाँच: 420 में तीनों पूरी जानी चाहिए। 12 × 35 = 420, 15 × 28 = 420 और 21 × 20 = 420 है ✓

हल:

स्टेप 1: 17, 23 और 29 तीनों खुद अभाज्य संख्याएँ हैं। इनका अपने अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

स्टेप 2 (HCF): तीनों में कोई साझा अभाज्य संख्या नहीं है। सिर्फ 1 साझा है, इसलिए HCF = 1

स्टेप 3 (LCM): सारी अभाज्य संख्याओं का गुणा करो।

• 17 × 23 = 17 × 20 + 17 × 3 = 340 + 51 = 391
• 391 × 29 = 391 × 30 − 391 = 11730 − 391 = 11339

29 को 30 − 1 मानकर गुणा किया, क्योंकि 30 से गुणा करना आसान है।

अतः HCF = 1, LCM = 11339

हल:

स्टेप 1: 8 = 2 × 2 × 2 = 2³

स्टेप 2: 9 = 3 × 3 = 3²

स्टेप 3: 25 = 5 × 5 = 5²

स्टेप 4 (HCF): तीनों में कोई साझा अभाज्य संख्या नहीं है। इसलिए HCF = 1

स्टेप 5 (LCM): 2³ × 3² × 5² = 8 × 9 × 25 पहले 8 × 25 = 200 करो, क्योंकि यह आसान है। फिर 200 × 9 = 1800

अतः HCF = 1, LCM = 1800

जाँच: 8 × 225 = 1800, 9 × 200 = 1800 और 25 × 72 = 1800 है ✓

अब तुम करो: 6, 10 और 15 का HCF और LCM निकालो।
उत्तर: 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5 है। तीनों में साझा कुछ नहीं, इसलिए HCF = 1, और LCM = 2 × 3 × 5 = 30

हल:

स्टेप 1: 306 × 657 बहुत बड़ा गुणा है। इसलिए पहले 657 में 9 से भाग दे दो।

1. 657 का पहला अंक 6 है। 6, 9 से छोटा है, इसलिए 9 इसमें एक बार भी पूरा नहीं जाएगा।
   इसलिए पहले दो अंक लो, यानी 65 लो।
   अब 65 में 9 कितनी बार जाएगा? 9 का पहाड़ा देखो।
   9 × 7 = 63 और 9 × 8 = 72 होता है।
   72 तो 65 से बड़ा है, इसलिए 7 बार ही ले सकते हैं।
   भागफल में 7 लिखो, और 65 के नीचे 63 लिखो।
   अब 65 में से 63 माइनस करो: 65 − 63 = 2, यानी 2 बच गया।
2. अब 657 का अगला अंक 7 नीचे लाओ। बचे हुए 2 के साथ मिलकर 27 बन गया।
   अब 27 में 9 कितनी बार जाएगा? 9 का पहाड़ा देखो।
   9 × 3 = 27 होता है, यानी ठीक 27 बन जाता है।
   भागफल में 3 लिखो, और 27 के नीचे 27 लिखो।
   अब 27 में से 27 माइनस करो: 27 − 27 = 0, यानी कुछ नहीं बचा।
   अब 657 का कोई अंक नहीं बचा, इसलिए भाग पूरा हो गया।

इसलिए 657 ÷ 9 में भागफल 73 है और शेष 0 है। यानी 657 = 9 × 73

जाँच: भागफल × भाजक = भाज्य होना चाहिए। 73 × 9 = 657 ✓

स्टेप 2: अब LCM = 306 × 73 है।

स्टेप 3: 73 = 70 + 3 है, इसलिए दो छोटे गुणा करो: 306 × 70 = 21420 और 306 × 3 = 918 जोड़ो: 21420 + 918 = 22338

अतः LCM (306, 657) = 22338

जाँच: LCM में 657 भी पूरी जानी चाहिए। 657 × 34 = 657 × 30 + 657 × 4 = 19710 + 2628 = 22338 ✓ (34 इसलिए, क्योंकि 306 ÷ 9 = 34 होता है।)

अब तुम करो: HCF(12, 18) = 6 है। LCM(12, 18) निकालो।
उत्तर: LCM = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36

हल:

स्टेप 1: मान लो किसी n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त होती है।

स्टेप 2: तब 6ⁿ में 10 = 2 × 5 से भाग जाएगा। यानी 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में 5 होना चाहिए।

स्टेप 3: 6 = 2 × 3 है, इसलिए 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ है। ऐसा क्यों? 6 को n बार गुणा करते हैं, और हर 6 में एक 2 और एक 3 है।

स्टेप 4: 6ⁿ में सिर्फ 2 और 3 हैं, 5 नहीं है।

स्टेप 5: आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता से 2 और 3 के अलावा कोई अभाज्य संख्या नहीं आ सकती। इसलिए स्टेप 1 का मानना गलत था।

अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

जाँच: 6¹ = 6, 6² = 36, 6³ = 216 है। आखिरी अंक हमेशा 6 है ✓

अब तुम करो: क्या 14ⁿ किसी n के लिए 0 पर खत्म हो सकती है?
उत्तर: नहीं। 14 = 2 × 7 है, इसलिए 14ⁿ = 2ⁿ × 7ⁿ में 5 नहीं है।

हल:

स्टेप 1: दोनों हिस्सों में 13 है। पहला हिस्सा 13 × (7 × 11) है, और दूसरा हिस्सा 13 × 1 है। इसलिए 13 को बाहर निकालो: 7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1)

स्टेप 2: कोष्ठक के अंदर: 7 × 11 + 1 = 77 + 1 = 78

स्टेप 3: इसलिए संख्या = 13 × 78 = 13 × 80 − 13 × 2 = 1040 − 26 = 1014

अतः यह संख्या 13 × 78 है। 1 और 1014 के अलावा 13 और 78 भी इसके गुणनखंड हैं। इसलिए यह भाज्य संख्या है।

जाँच: 7 × 11 × 13 = 77 × 13 = 1001, और 1001 + 13 = 1014 है। ऊपर भी 1014 आया ✓

हल:

स्टेप 1: दोनों हिस्सों में 5 है। इसलिए 5 को बाहर निकालो: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)

स्टेप 2: कोष्ठक के अंदर गुणा करो: 7 × 6 = 42, 42 × 4 = 168, 168 × 3 = 504, 504 × 2 = 1008 फिर 1008 × 1 = 1008, और 1008 + 1 = 1009

स्टेप 3: इसलिए संख्या = 5 × 1009 = 5045

अतः यह संख्या 5 × 1009 है। 1 और 5045 के अलावा 5 भी इसका गुणनखंड है। इसलिए यह भाज्य संख्या है।

जाँच: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 है, और 5040 + 5 = 5045 है ✓

अब तुम करो: 5 × 4 × 3 + 3 भाज्य संख्या क्यों है?
उत्तर: 5 × 4 × 3 + 3 = 3 × (5 × 4 + 1) = 3 × 21 = 63 है। 3 इसका गुणनखंड है।

हल:

स्टेप 1: सोनिया शुरुआत वाली जगह पर 18, 36, 54, ... मिनट पर आती है। ये 18 के पहाड़े की संख्याएँ हैं। रवि 12, 24, 36, ... मिनट पर आता है। ये 12 के पहाड़े की संख्याएँ हैं। दोनों पहली बार साथ जिस समय आएँगे, वह 18 और 12 का LCM है।

स्टेप 2: 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²

स्टेप 3: 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

स्टेप 4: बड़ी घातें 2² और 3² हैं। इसलिए LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

अतः दोनों 36 मिनट बाद प्रारंभिक स्थान पर फिर मिलेंगे।

जाँच: 36 मिनट में सोनिया 2 चक्कर (18 × 2 = 36) और रवि 3 चक्कर (12 × 3 = 36) पूरे करेंगे ✓

अब तुम करो: दो घंटियाँ हर 6 मिनट और हर 8 मिनट पर बजती हैं। एक साथ बजने के बाद, फिर कब साथ बजेंगी?
उत्तर: LCM(6, 8) = 24, यानी 24 मिनट बाद।